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线性空间的研究中,有时候证明一个抽象空间的结论十分繁琐,但在中,借助直观的运算可以很容易证明,这时,如果可以证明这两个空间之间的关系(即建立的映射)保持这种性质,也就可以证明了抽象空间的结论:这种思想就是同构

同构映射[]

设数域上的两个线性空间,如果存在一个双射,且这个双射保持加法和数乘,即,就称为从的一个同构映射,并称同构于,记作

“保持加法和数乘”也可以用如下两条替换:

这句中等式左侧的加法和数乘是中定义的,而右侧的加法和数乘是中定义的。

同构的等价性[]

从定义中,我们可以知道同构关系有如下性质:

  1. 自反性:,只需取映射为恒等映射即可,也称为自同构。
  2. 对称性:若,则。由于是双射,所以这个双射提供了的同构映射。
  3. 传递性:若,则,由映射的合成立得。

因此,同构关系是一种等价关系

同构映射保持线性相关性和线性无关性[]

对于。显然有

可以证明中一个向量组线性相关当且仅当中该向量组的像线性相关。逆否命题亦成立。

有限维同构的刻画[]

同一个数域上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。

参见[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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