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线性空间(linear space)或称向量空间(vector space)是线性代数中研究的重要对象,是一种代数系统,这种对象是由解析几何中直观的向量几何抽象而来。线性空间中的元素被叫做向量,在公理化中定义的向量不仅局限于空间几何。

对线性空间的研究应用广泛,对线性方程组的研究直接与之相联系。此外,除了在线性代数中研究外,泛函分析中的函数施之函数的运算后也可以成为线性空间,称之为函数空间

向量加法和数乘[]

在定义线性空间之前,我们需要知道两种基本的运算。沿用欧氏几何的传统,向量(线性空间中的元素)依旧习惯上用小写希腊字母表示。

假设集合为一数域

  1. 向量加法,即。有时为了和一般数的加法相区别,也记作
  2. 数乘(也称标量乘法),即。有时为了和一般数的乘法相区别,也记作

公理化定义[]

如果一个代数系统满足下列性质,那么就称为数域上的一个线性空间。

  1. 向量加法的交换律
  2. 向量加法的结合律
  3. 向量加法有零元
  4. 向量加法有负元
  5. 标量乘法对向量加法有分配律
  6. 标量乘法对域加法有分配律:
  7. 标量乘法与标量的域乘法相容:
  8. 标量乘法有单位元:

满足以上八条性质便可称其为线性空间,在不引起混淆的情况下也可记为也可沿用几何空间中向量数乘的习惯记为

其他性质[]

从以上八条基本性质我们可以推出线性空间还具有以下性质:

  1. 标量加法零元是唯一的,我们把这个向量也称为零向量
  2. 标量加法对于一个向量的负元也是唯一的:,我们也把记作,称为向量的负向量

一些线性空间的例子[]

  1. 一个二维的实平面(三维的几何空间),其元素为过原点的向量,加上向量的加法和数量乘法,构成)上的线性空间。更一般地,矩阵的集合加上矩阵的加法和数乘,构成线性空间
  2. 数域,其元素就是数域上的数,加上数之间的加法和乘法,构成上的线性空间。此外数域,那么上一线性空间。
  3. 多项式集合加上多项式的加法以及多项式和中数的乘法构成线性空间。另外,多项式集合替换为次项系数为也构成线性空间。
  4. 区间上连续函数的全体构成的集合加上函数的加法和数乘构成一线性空间。
  5. 正实数集合关于正数的乘法(,作为线性空间中的向量加法)以及正数的实数次幂(,作为线性空间中的数乘)构成上的一线性空间

参见[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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