线性空间(linear space)或称向量空间(vector space)是线性代数中研究的重要对象,是一种代数系统,这种对象是由解析几何中直观的向量几何抽象而来。线性空间中的元素被叫做向量,在公理化中定义的向量不仅局限于空间几何。
对线性空间的研究应用广泛,对线性方程组的研究直接与之相联系。此外,除了在线性代数中研究外,泛函分析中的函数施之函数的运算后也可以成为线性空间,称之为函数空间。
向量加法和数乘[]
在定义线性空间之前,我们需要知道两种基本的运算。沿用欧氏几何的传统,向量(线性空间中的元素)依旧习惯上用小写希腊字母
表示。
假设集合
,
为一数域。
- 向量加法
,即
。有时为了和一般数的加法相区别,也记作
。
- 数乘(也称标量乘法)
,即
。有时为了和一般数的乘法相区别,也记作
。
公理化定义[]
如果一个代数系统
满足下列性质,那么就称为数域
上的一个线性空间。
- 向量加法的交换律:

- 向量加法的结合律:

- 向量加法有零元:

- 向量加法有负元:

- 标量乘法对向量加法有分配律

- 标量乘法对域加法有分配律:

- 标量乘法与标量的域乘法相容:

- 标量乘法有单位元:

满足以上八条性质便可称其为线性空间,在不引起混淆的情况下
也可记为
。
也可沿用几何空间中向量数乘的习惯记为
。
其他性质[]
从以上八条基本性质我们可以推出线性空间还具有以下性质:
- 标量加法零元是唯一的,我们把这个向量
也称为零向量
- 标量加法对于一个向量的负元也是唯一的:
,我们也把
记作
,称为向量
的负向量



或

一些线性空间的例子[]
- 一个二维的实平面(三维的几何空间),其元素为过原点的向量,加上向量的加法和数量乘法,构成
(
)上的线性空间。更一般地,矩阵的集合
加上矩阵的加法和数乘,构成线性空间
。
- 数域
,其元素就是数域上的数,加上数之间的加法和乘法,构成
上的线性空间
。此外数域
,那么
为
上一线性空间。
- 多项式集合
加上多项式的加法以及多项式和
中数的乘法构成线性空间。另外,多项式集合替换为
的
次项系数为
也构成线性空间。
- 区间
上连续函数的全体构成的集合
加上函数的加法和数乘构成一线性空间。
- 正实数集合
关于正数的乘法(
,作为线性空间中的向量加法)以及正数的实数次幂(
,作为线性空间中的数乘)构成
上的一线性空间
。
参见[]
参考资料