线性核

在代数和分析中，线性核是一个线性映射的象空间中零元之完全原象集。

定义

假设有两个线性空间$X, Y$，之间有一个线性映射$f: X \to Y$，我们称集合 $$\ker f := \{ x \in X: f(x) = \theta_Y \}$$ 为$f$的核（kernel），或称线性核，这里$\theta_Y$是$Y$空间中的零元，这个集合是非空集合，因为$f(\theta_X) = \theta_Y, \theta_X \in \ker f.$

代数结构

可以证明$\ker f$是$X$的线性子空间，实际上

1. $\theta_X \in \ker f.$
2. 对加法封闭：$\forall x, y \in \ker f, f(x+y) = f(x) + f(y) = \theta + \theta = \theta.$因此$x+y \in \ker f.$
3. 对数乘封闭：$\forall x \in \ker f, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(\lambda x) = \lambda f(x) = \theta.$因此$\lambda x \in \ker f.$

因此$\ker f$也称为$f$的核空间。

有限维线性空间中，一个线性映射$f$决定了一个象空间$f(X)$以及核空间$\ker f$，且有线性空间的直和分解 $$X \cong f(X) \oplus \ker f.$$

拓扑结构

在一般的线性空间中引入拓扑——例如在赋范线性空间中，线性核借由连续（或有界）线性算子定义。这仅需在上述定义中将$X, Y$的条件换为赋范线性空间，而$f$改为连续线性算子即可。可以验证$\ker f$依然是子空间，且是闭的

赋范线性空间$f: X \to Y$之间的线性算子连续，那么它的核$\ker f$闭。反过来，如果$Y$是有限维的且核$\ker f$闭，那么$f$连续。

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第一部分用连续映射的等价定义：闭集的原象是闭集，或者，我们仅需证明$\forall x \in \overline{\ker f}, x \in \ker f.$实际上，由于$x \in \overline{\ker f}$，故存在一列$\{ x_n \}_{n=1}^\infty$使得$\lim_{n \to \infty} x_n = x.$因此由线性算子的连续性，$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$，而$x_n \in \ker f, f(x_n) = \theta$，由极限唯一性可知$f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0.$这也就是说$x \in \ker f.$

第二部分，我们由于$\ker f$闭，$X/\ker f$是赋范线性空间，算子${\overline {f}}:X/\ker f\to Y,x+\ker f\mapsto f(x)$良定义，$\overline{f}$连续因为$D(T),R(T)$都是有限维的，令$\pi :X\to X/\ker f$是自然投射（进而连续），那么$f={\overline {f}}\circ \pi$连续。

类似于有限维线性空间中直和分解的性质，在赋范线性空间里也有类似的性质：假设$f$是$X$到$Y$的线性泛函，$x_0 \in X, f(x_0) \ne 0$，显然$f(x_0) \ne 0.$那么$$X = \ker f \oplus \text{span} \{ x_0 \}.$$ 实际上 $$\forall x \in X, x = \dfrac{f(x)}{f(x_0)} x_0 + y$$ 显然$f(y) = 0.$这确实是一种分解。为说明上述和为直和，仅需说明 $$\ker f \cap \text{span}\{x_0\} = \theta.$$ 实际上，若假设$x \in \ker f \cap \text{span}\{x_0\}$且$x \ne \theta$，那么

1. 一方面$x \in \ker f, f(x) = 0.$
2. 另一方面$x \in \text{span}\{x_0\}, \exists \lambda \ne 0, x = \lambda x_0, f(x) = f(\lambda x_0) = \lambda f(x_0) \ne 0.$

矛盾，故直和得证。上述分解出现的$\text{span}\{x_0\}$是余一维的（或者说，非零线性泛函的非零空间实质上是一维的），我们给出$m$个线性无关的线性泛函后还可构造余$m$维的直和分解。

如果线性算子$T$未必连续，但是它是闭的，那么它的核也是闭的：

如果$X, Y$是 Banach 空间，那么闭线性算子$T: X \to Y$的核$\ker T$是闭的。

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任取$x_{n}\in \ker T$，且$x_n \to x \in X$，那么$Tx_{n}=0\to 0$结合$T$的闭性就有$Tx = 0$即$x\in \ker T.$

核距离指标

假设$X, Y$是 Banach 空间，$f: X \to Y$连续线性，那么我们可以定义 $$\gamma (f):=\inf _{x\in X\setminus \ker f}{\dfrac {\|f(x)\|}{d(x,\ker f)}}$$ 其中$d(x,\ker f)$是从$x$到$\ker f$的距离，亦即$\inf _{y\in \ker f}\|x-y\|.$我们有

假设$f: X \to Y$是 Banach 空间之间的连续线性算子，$\gamma (f)$定义如上，那么

1. $\gamma (f)\leqslant \|f\|.$
2. 如果$f$可逆，那么$\gamma (f)=\|f^{-1}\|^{-1}.$

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由$\gamma (f)$的定义我们有$$\|f(x)\|\geqslant \gamma (f)d(x,\ker f),\quad \forall x\in X.$$再对任意的$x\in X,y\in \ker f$我们有$$\|f(x)\|=\|f(x-y)\|\leqslant \|f\|\|x-y\|.$$上式两端同时对$y\in\ker f$取下确界就得到$$\|f(x)\|\leqslant \|f\|d(x,\ker f).$$于是我们就得到结论。

如果$f$可逆，那么$\ker f=\{0\}$从而$\gamma (f)=\inf _{x\in X\setminus \{0\}}{\dfrac {\|f(x)\|}{\|x\|}}=\inf _{y\in Y\setminus \{0\}}{\dfrac {\|y\|}{\|f^{-1}(y)\|}}=\left(\sup _{y\in Y\setminus \{0\}}{\dfrac {\|f^{-1}(y)\|}{\|y\|}}\right)^{-1}=\|f^{-1}\|^{-1}.$

这就表明这个指标在$f$不可逆的时候发挥了研究$f$在值域空间中闭性的作用，实际上我们可以证明$f$是闭值域算子当且仅当$\gamma (f)>0.$参见闭值域算子。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.