线性映射

线性映射是线性空间中的一种函数关系，它可以将两个线性空间通过建立一个映射的方式联系起来。

定义

若$V$和$V'$是数域$\mathbb{P}$上的两个线性空间，如果存在映射$f: V \to V'$满足如下性质（线性性）：

$$\forall \alpha, \beta \in V \And k, l \in \mathbb{P}, \quad f(k\alpha + l\beta) = k f(\alpha) + l f(\beta)$$

我们就称映射$f$是一个从$V$到$V'$的线性映射（linear mapping），线性映射也可以用花体$\mathcal{A, B, C} \cdots$表示。

例如，当上述的$V' = \mathbb{P}$时就是$V$上的一个线性函数；当$f$是一个双射时它就是一个同构映射。

如果$V = V'$，那这个映射就是$V$上的一个线性变换。

线性映射的像与核

若$V$和$V'$是数域$\mathbb{P}$上的线性空间，如果有线性映射$f: V \to V'$，那么记

$$\operatorname{Im} f := f(V) = \{ f(\alpha), \alpha \in V \}$$

$$\operatorname{Ker} f := \{ \alpha \in V ~|~ f(\alpha) = \theta \}$$

分别称作线性映射$f$的像（image，或值域）与核（kernel），直观上理解，线性映射的像集就是收集了所有$V$中元素在$V'$的像，它是$V'$的一个子空间；线性映射的核就是收集了$V$中那些在$V'$中像是零元素的元素，是$V$的子空间。用花体$\mathcal{A}$表示的线性映射的像有时可以简单写为$\mathcal{A}V$。

例如，一个 Euclid 空间$V$到子空间$V_1$上的投影变换$\mathcal{D}$，显然有

$$\operatorname{Im} \mathcal{D} = V_1, \quad \operatorname{Ker} \mathcal{D} = V_1^\perp$$

线性映射的限制

设有一线性空间$V$，存在子空间$V_1 \leqslant V$，又设一定义在$V$上的线性映射$\mathcal{A}$，那么如果我们将这个线性映射的定义域缩小为$V_1$，就称将$\mathcal{A}$限制在$V_1$上，记作$\mathcal{A}|_{V_1}$。易知，$\mathcal{A}|_{V_1} V_1 \subseteq \mathcal{A} V$，且$\operatorname{Ker} \mathcal{A}|_{V_1} \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{A}$。

秩-零化度定理

在线性映射中也叫做 Sylvester 定理，它是说一个线性变换$f$如果是同一数域上的两个有限维线性空间$V$到$V'$的映射，则有下式成立

$$\dim \operatorname{Im} f + \dim \operatorname{Ker} f = \dim V$$

上下节

• 上一节：Gram-Schmidt 正交化
• 下一节：线性变换

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.