在线性代数中,线性方程组是一个重要的研究对象,正是因为对线性方程组的研究,才衍生出线性代数的很多理论(矩阵,行列式,向量组),而这些理论有为解决线性方程组的求解问题提供了便利。
概念[]
标准形式[]
我们将形如下面的方程组称为线性方程组,其中是未知变元,
以上形式称为线性方程组的标准形式,它可以简写为
如果存在一组,用它们分别替代上式中的可以使每个等式都成立,就称有序数组是原方程组的一组解。无解的方程组称为无解方程组。
向量形式[]
如果设且,则上述方程组可写为向量形式
这就可以用向量组理论来解释线性方程组了。
矩阵形式[]
引入矩阵的概念后,结合矩阵的乘法,上述方程组还可形式地写作
再令,,则
以上形式称为线性方程组的矩阵形式,称为线性方程组的系数矩阵。
特别地,如果方程数量与变元数量一样,即,称线性方程组为阶线性方程组,它所对应的系数矩阵为方阵。
齐次线性方程组[]
当时,称上述方程组为齐次线性方程组,简称齐次组,否则称为非齐次线性方程组。
齐次组称作对应非齐次组的导出组。
从向量组线性相关性的角度而言,如果,那么表示系数可全取,也就是说齐次线性组一定有零解,我们称之为平凡解。齐次方程组可解释为线性相关与线性无关问题,在线性无关时,原方程组只有零解。
增广矩阵[]
对于一个线性方程组而言,称如下分块矩阵
为线性方程组的增广矩阵。
线性方程组的初等变换[]
像矩阵的三种初等变换那样,线性方程组也有三种初等变换。
- 将某一个方程变为原来的倍;
- 将某一个方程的倍被加到另外一个方程上去;
- 交换某两个方程的位置。
方程组作这三种初等变换前后是同解的,它所对应的初等变换就是它的增广矩阵做相应的初等行变换。
方程组的运算[]
像矩阵的运算那样,方程组之间也可进行运算,但是我们不能保证方程组运算时保持解的结构不变。
- 加法:两个变元相同、方程组中方程个数相同的方程组可相加,即将对应行的方程相加即可,这一操作可使得到的方程组的解比原来多,这个多的概念是说在导出组解空间的维数上,对应增广矩阵的加法。
- 数乘:对应增广矩阵的数乘,当系数时就是方程组的第一类初等变换,时会时解增多。
- 乘法:对应于矩阵乘法,它实际上是变数替换的叠加,与线性方程组理论关系不大。
上下节[]
- 上一节:矩阵的迹
- 下一节:线性方程组解的结构
参考资料
- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
978-7-0304-0417-6
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- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
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