线性度量空间

线性度量空间是一类同时具有线性结构和可度量化的拓扑的线性拓扑空间。在拓扑线性空间理论中，我们将更多的关注点放在局部凸空间上，而对线性度量空间的研究不是很多，这是因为可度量化需要更强的一些条件，这些条件非常强，以至于其混杂了很多一般拓扑线性空间中的其他性质。线性度量空间可以进一步弱化为更基本的空间。因此研究线性度量空间会归结于研究那些更基本的空间。

定义

我们称一个数域$\mathbb{K}$上的线性空间$X$上定义的距离$d$导出的拓扑$\tau$是这个线性空间$X$上的向量拓扑，我们就称这个空间$X$是线性度量空间或线性距离空间。

如果一个线性度量空间$X$上的距离$d$满足下面的性质：

1. $d(\lambda x,0)\leqslant d(x,0),\forall x\in X,\lambda \in \mathbb {K} ,|\lambda |\leqslant 1.$
2. $d(x-z,y-z)=d(x,y),\forall x,y,z\in X.$

我们就说这个距离$d$是均衡不变的距离。

假设有线性度量空间$X$及其上定义的二元函数$d:X\times X\to \mathbb {R}$，$p(x)=d(x,0),d(x,y)=p(x-y)$，那么$d$是均衡不变的当且仅当$p$满足：

1. 正定性：对任意的$x \in X$都有$p(x) \geqslant 0$，且$p(x) = 0$当且仅当$x = 0.$
2. 均衡性：对任意的$x\in X,\lambda \leqslant 1$都有$p(\lambda x)\leqslant p(x).$
3. 三角不等式：对任意的$x,y \in X$都有$p(x+y)\leqslant p(x)+p(y).$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

1. 如果$d$均衡不变，第一条根据距离的性质得到，第二条根据均衡不变定义的第一条得到，三角不等式由下面的证明得到$${\begin{aligned}p(x+y)&=d(x+y,0)\leqslant d(x+y,y)+d(y,0)\\&=d(x,0)+d(y,0)=p(x)+p(y).\end{aligned}}$$
2. 反过来，我们在上面三条的假设下要证明$d$均衡不变，首先距离的正定性和三角不等式由$p$的第一、三条得到，距离的对称性由第二条的$\lambda=-1$得到（由于$p(-x)\leqslant p(x)$对任意的$x \in X$都成立，用$-x$代替$x$就得到了另外一端的不等式）。均衡不变性定义的第二条由$p$的定义立即得到，而第一条是$p$的均衡性（第二条）的直接结果。

可度量化

我们可以考虑这样的问题：什么情况下一个线性拓扑空间$X$可以度量化，也就是说，我们要让$X$上存在一个度量拓扑$\tau _{d}$使它和原来的拓扑线性空间上的向量拓扑等价，我们知道度量拓扑一定是第一可数且 Hausdorff 的，实际上，第一可数性质和 Hausdorff 性质也是线性拓扑空间可度量化的充分条件，参见局部凸空间#可赋范性。

有界性

我们称线性度量空间$X$上的一个非空集合$A$是度量有界的，是指这个集合的直径 $${\text{diam}}(A)=\sup _{x,y\in A}d(x,y)$$ 是有限数。

度量有界未必蕴含有界，例如对任意的度量$d$我们总可以做出一个有界的度量${\dfrac {d}{1+d}}$，这样这个空间中的任意非空集合都是度量有界集，但是全空间未必有界，参见 S 空间。

此外，这里有一个经典的例子，它给出了很多关于线性度量空间中的反例：

假设我们考察$l^p$空间，其中$0 < p < 1$，配上拟范数

$$\|x\|_{p}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}<+\infty ,\quad \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} ^{+}}\subset l^{p}.$$ 那么

1. 不是局部凸的。
2. 非空集合$A$有界当且仅当它度量有界。
3. 其中的闭单位球$B$有界但是它的凸包无界。
4. 当$p\leqslant {\dfrac {1}{2}}$的时候，$C=\{x_{n,m}\}_{n\geqslant m\geqslant 1}$，其中$x_{n,m}$是除了第$m+{\dfrac {n(n-1)}{2}}$个坐标分量是$\dfrac{1}{n}$外其余分量都是零的序列。那么$C$相对紧，但是它的平衡凸包不是相对紧的。

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1. 闭单位球不是凸的，取$x_{1}=(1,0,0,0,\cdots ),x_{2}=(0,1,0,0,\cdots )$，它们的连线的中点$(1/2,1/2,0,0,\cdots )$在单位球之外。
2. 假设$A$有界，那么对任意的原点的邻域$O$存在$\lambda > 0$使得$\lambda A\subset O$，我们可以取$O$就是开的单位球，这样${\text{diam}}(A)<2\lambda ^{-p}+1$，即$A$度量有界。反过来假设$A$度量有界，那么$A\subset B(0,{\text{diam}}(A)+1)$，由于$\{B(0,1/m)\}_{m\in \mathbb {N} ^{+}}$是原点的一个邻域基，对任意的原点的邻域$O$都存在一个$m$使得$B(0,1/m)\subset G$，于是$$A\subset B(0,{\text{diam}}(A)+1)\subset (m{\text{diam}}(A)+m)^{1/p}B(0,1/m)\subset (m{\text{diam}}(A)+m)^{1/p}G.$$即$A$有界。
3. 由上一条可知$B$有界，令$e_n$是第$n$个分量是1其余分量为零的序列，那么$e_n$的凸包上有点$y_n$，这是前$n$个分量是$1/n$，其余分量是零的序列，于是$\|y_{n}\|_{p}=n^{1-p}\to +\infty .$即$B$的凸包无界。
4. 首先我们有$\|x_{n,m}\|_{p}=n^{-1/p}\to 0.$即$\{x_{n,m}\}$收敛到零，这个序列相对紧。令$y_{n}={\dfrac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}x_{n,m}$，于是$\{ y_n \}$在$\{x_{m,n}\}$的平衡凸包中且$y_n$的第${\dfrac {n(n-1)}{2}}+1$个分量到第${\dfrac {n(n-1)}{2}}+n$个分量是${\dfrac {1}{n^{2}}}$其余分量均为零。可是$$\|y_{n}-y_{m}\|_{p}=n^{1-2p}+m^{1-2p}\geqslant 2.$$于是$\{ y_n \}$不是相对紧的，

参考资料

1. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.