線性常微分方程組

設$a_{ij} (x), f_i(x), i,j = 1,2,\cdots,n$是區間$[a, b]$上的一元實函數，且$y_i, i = 1,2,\cdots,n$是關於$x$的未知函數，稱

$${\begin{cases}y'_{1}=a_{11}(x)y_{1}+a_{12}(x)y_{2}+\cdots +a_{1n}(x)y_{n}+f_{1}(x),\\y'_{2}=a_{21}(x)y_{1}+a_{22}(x)y_{2}+\cdots +a_{2n}(x)y_{n}+f_{2}(x),\\\cdots ,\\y'_{n}=a_{n1}(x)y_{1}+a_{n2}(x)y_{2}+\cdots +a_{nn}(x)y_{n}+f_{n}(x).\\\end{cases}}$$

為一個線性常微分方程組，一般我們只關心未知函數變量個數和方程個數相等的方程組。

記號

如果引入函數矩陣以及向量值函數

$$\boldsymbol{A}(x) = \begin{pmatrix} a_{11} (x) & a_{12} (x) & \cdots & a_{1n} (x) \\ a_{21} (x) & a_{22} (x) & \cdots & a_{2n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} (x) & a_{n2} (x) & \cdots & a_{nn} (x) \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} f_1 (x) \\ f_2 (x) \\ \vdots \\ f_n (x) \\ \end{pmatrix}$$

和未知函數向量及其導數

$$\boldsymbol{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1 (x) \\ y_2 (x) \\ \vdots \\ y_n (x) \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{y}'(x) = \begin{pmatrix} y'_1 (x) \\ y'_1 (x) \\ \vdots \\ y'_n (x) \\ \end{pmatrix}$$

那麼方程組#Eq1便可形式地寫作

$${\boldsymbol {y}}'(x)={\boldsymbol {A}}(x){\boldsymbol {y}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x).$$

簡寫為

$$\boldsymbol{y}' = \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} + \boldsymbol{f}.$$

我們現在給上式以明確意義：對函數矩陣以及向量值函數，規定它們的所有有關一元實函數的性質都是對所有分量函數而言的，例如，說函數矩陣$\boldsymbol{A}(x)$在$[a, b]$上連續，是指每個分量函數$a_{ij} (x), i, j = 1,2,\cdots,n$在$[a, b]$上連續，求導和求積分都是這樣，一元實函數中成立的相關導數公式可以推廣到此。

解向量

我們稱微分方程組的解為解向量，它是一個確定的有關自變量$x$的函數向量，對於一個有關自變量$x$的函數向量$\boldsymbol{y}(x)$，將它帶入方程組#Eq2中滿足等式成立，就說它是方程組#Eq2的解向量，能用一個含有某些參數表示微分方程組的所有解向量的解向量$\boldsymbol{y}(x, c_1, c_2, \cdots, c_n)$，稱作微分方程組的通解。

設$\boldsymbol{\eta}$為常向量，$x_0 \in [a, b]$，稱滿足下列條件

$${\boldsymbol {y}}'(x)={\boldsymbol {A}}(x){\boldsymbol {y}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x),\quad {\boldsymbol {y}}(x_{0})={\boldsymbol {\eta }},$$

的解向量$\boldsymbol{y}(x)$如果存在，就稱為方程組#Eq2滿足初值問題$\boldsymbol{y}(x_0) = \boldsymbol{\eta}$的解。

存在唯一性定理

設$a_{ij} (x), f_i(x), i,j = 1,2,\cdots,n$是區間$[a, b]$上的連續函數，且$y_i, i = 1,2,\cdots,n$是關於$x$的未知函數，設$\boldsymbol{\eta}$為常向量，$x_0 \in [a, b]$，滿足下列條件

$${\boldsymbol {y}}'(x)={\boldsymbol {A}}(x){\boldsymbol {y}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x),\quad {\boldsymbol {y}}(x_{0})={\boldsymbol {\eta }},$$

的解$\boldsymbol{\varphi}(x)$在區間$[a, b]$上存在且唯一。

以上定理的證明類似於一階常微分方程的解的存在唯一性的證明，也是分別證明五個命題得到，核心還是使用了皮卡迭代。

1. 原方程#C2等價於積分方程
   $$\boldsymbol{y}(x) = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{y}(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t.$$
2. 選取初始迭代函數向量$\boldsymbol{\varphi}_0(x) = \boldsymbol{\eta}$，做逐步逼近的函數向量序列
   $$\begin{align} \boldsymbol{\varphi}_1 (x) & = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_0(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t, \\ \boldsymbol{\varphi}_2 (x) & = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_1(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t, \\ \cdots & \\ \boldsymbol{\varphi}_n (x) & = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_{n-1}(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t. \\ \end{align}$$
   在上述假設下，我們稱$\varphi_n (x)$為第$n$次迭代的數值近似解。可以證明，$\boldsymbol{\varphi}_n(x)$對所有的正整數$n$都在$[a, b]$上連續。
3. 向量函數序列$\{ \boldsymbol{\varphi}_n (x) \}_{n=0}^\infty$在$[a, b]$上一致收斂，記其極限函數向量為$\boldsymbol{\varphi}(x)$。該一致收斂需要藉助向量範數和矩陣範數來描述。
4. 極限函數向量$\boldsymbol{\varphi}(x)$在$[a, b]$上連續，進而它就是原方程所對應的一個連續解。
5. 滿足原方程的解向量是唯一的，即若存在兩個原方程的解向量$\boldsymbol{\varphi}(x)$以及$\boldsymbol{\psi}(x)$，則必有$\boldsymbol{\varphi}(x) = \boldsymbol{\psi}(x), \forall x \in [a, b].$

上下節

• 上一節：常微分方程的冪級數解法
• 下一節：線性常微分方程組的解的結構

參考資料

1. 王高雄, 周之銘, 朱思銘, 王壽松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.