线性常微分方程组

设$a_{ij} (x), f_i(x), i,j = 1,2,\cdots,n$是区间$[a, b]$上的一元实函数，且$y_i, i = 1,2,\cdots,n$是关于$x$的未知函数，称

$${\begin{cases}y'_{1}=a_{11}(x)y_{1}+a_{12}(x)y_{2}+\cdots +a_{1n}(x)y_{n}+f_{1}(x),\\y'_{2}=a_{21}(x)y_{1}+a_{22}(x)y_{2}+\cdots +a_{2n}(x)y_{n}+f_{2}(x),\\\cdots ,\\y'_{n}=a_{n1}(x)y_{1}+a_{n2}(x)y_{2}+\cdots +a_{nn}(x)y_{n}+f_{n}(x).\\\end{cases}}$$

为一个线性常微分方程组，一般我们只关心未知函数变量个数和方程个数相等的方程组。

记号

如果引入函数矩阵以及向量值函数

$$\boldsymbol{A}(x) = \begin{pmatrix} a_{11} (x) & a_{12} (x) & \cdots & a_{1n} (x) \\ a_{21} (x) & a_{22} (x) & \cdots & a_{2n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} (x) & a_{n2} (x) & \cdots & a_{nn} (x) \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} f_1 (x) \\ f_2 (x) \\ \vdots \\ f_n (x) \\ \end{pmatrix}$$

和未知函数向量及其导数

$$\boldsymbol{y}(x) = \begin{pmatrix} y_1 (x) \\ y_2 (x) \\ \vdots \\ y_n (x) \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{y}'(x) = \begin{pmatrix} y'_1 (x) \\ y'_1 (x) \\ \vdots \\ y'_n (x) \\ \end{pmatrix}$$

那么方程组#Eq1便可形式地写作

$${\boldsymbol {y}}'(x)={\boldsymbol {A}}(x){\boldsymbol {y}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x).$$

简写为

$$\boldsymbol{y}' = \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} + \boldsymbol{f}.$$

我们现在给上式以明确意义：对函数矩阵以及向量值函数，规定它们的所有有关一元实函数的性质都是对所有分量函数而言的，例如，说函数矩阵$\boldsymbol{A}(x)$在$[a, b]$上连续，是指每个分量函数$a_{ij} (x), i, j = 1,2,\cdots,n$在$[a, b]$上连续，求导和求积分都是这样，一元实函数中成立的相关导数公式可以推广到此。

解向量

我们称微分方程组的解为解向量，它是一个确定的有关自变量$x$的函数向量，对于一个有关自变量$x$的函数向量$\boldsymbol{y}(x)$，将它带入方程组#Eq2中满足等式成立，就说它是方程组#Eq2的解向量，能用一个含有某些参数表示微分方程组的所有解向量的解向量$\boldsymbol{y}(x, c_1, c_2, \cdots, c_n)$，称作微分方程组的通解。

设$\boldsymbol{\eta}$为常向量，$x_0 \in [a, b]$，称满足下列条件

$${\boldsymbol {y}}'(x)={\boldsymbol {A}}(x){\boldsymbol {y}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x),\quad {\boldsymbol {y}}(x_{0})={\boldsymbol {\eta }},$$

的解向量$\boldsymbol{y}(x)$如果存在，就称为方程组#Eq2满足初值问题$\boldsymbol{y}(x_0) = \boldsymbol{\eta}$的解。

存在唯一性定理

设$a_{ij} (x), f_i(x), i,j = 1,2,\cdots,n$是区间$[a, b]$上的连续函数，且$y_i, i = 1,2,\cdots,n$是关于$x$的未知函数，设$\boldsymbol{\eta}$为常向量，$x_0 \in [a, b]$，满足下列条件

$${\boldsymbol {y}}'(x)={\boldsymbol {A}}(x){\boldsymbol {y}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x),\quad {\boldsymbol {y}}(x_{0})={\boldsymbol {\eta }},$$

的解$\boldsymbol{\varphi}(x)$在区间$[a, b]$上存在且唯一。

以上定理的证明类似于一阶常微分方程的解的存在唯一性的证明，也是分别证明五个命题得到，核心还是使用了皮卡迭代。

1. 原方程#C2等价于积分方程
   $$\boldsymbol{y}(x) = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{y}(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t.$$
2. 选取初始迭代函数向量$\boldsymbol{\varphi}_0(x) = \boldsymbol{\eta}$，做逐步逼近的函数向量序列
   $$\begin{align} \boldsymbol{\varphi}_1 (x) & = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_0(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t, \\ \boldsymbol{\varphi}_2 (x) & = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_1(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t, \\ \cdots & \\ \boldsymbol{\varphi}_n (x) & = \boldsymbol{\eta} + \int_{x_0}^x [\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_{n-1}(t) + \boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d}t. \\ \end{align}$$
   在上述假设下，我们称$\varphi_n (x)$为第$n$次迭代的数值近似解。可以证明，$\boldsymbol{\varphi}_n(x)$对所有的正整数$n$都在$[a, b]$上连续。
3. 向量函数序列$\{ \boldsymbol{\varphi}_n (x) \}_{n=0}^\infty$在$[a, b]$上一致收敛，记其极限函数向量为$\boldsymbol{\varphi}(x)$。该一致收敛需要借助向量范数和矩阵范数来描述。
4. 极限函数向量$\boldsymbol{\varphi}(x)$在$[a, b]$上连续，进而它就是原方程所对应的一个连续解。
5. 满足原方程的解向量是唯一的，即若存在两个原方程的解向量$\boldsymbol{\varphi}(x)$以及$\boldsymbol{\psi}(x)$，则必有$\boldsymbol{\varphi}(x) = \boldsymbol{\psi}(x), \forall x \in [a, b].$

上下节

• 上一节：常微分方程的幂级数解法
• 下一节：线性常微分方程组的解的结构

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.