线性常微分方程

线性常微分方程是一类基本的常微分方程，它有形式

$$\dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} + a_1(x) \dfrac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d} x^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} (x) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_n (x) y = f(x).$$

其中$a_i (x), i = 1,2,\cdots,n$是关于自变量$x \in [a, b]$的连续函数，我们称上述方程为一个$n$阶线性常微分方程。如果$f(x) \ne 0$，我们就称上述方程是非齐次线性常微分方程，反之称为齐次线性微分方程。对于非齐次线性微分方程$(*)$，我们称下面的方程为它对应的齐次微分方程

$${\dfrac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a_{1}(x){\dfrac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(x){\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+a_{n}(x)y=0.$$

如果$a_i (x), i = 1,2,\cdots,n$在$x \in [a, b]$上恒为常数，我们就说这是一个常系数线性微分方程。

解的存在唯一定理

设函数$a_i (x), i = 1,2,\cdots,n$及$f(x)$在$x \in [a, b]$上连续，方程#Eq1有任给的初值条件$(x_0, y_0, y'_0, \cdots, y^{(n-1)}_0), x_0 \in [a, b]$，则满足该条件且定义在$x \in [a, b]$上的解$\varphi(x)$存在且唯一。这就线性常微分方程的解的存在唯一定理，其证明需要用到常微分方程组以及一阶常微分方程的一般理论。

解的结构

我们先来考虑齐次方程$(**)$，它有初值条件$(x_0, y_0, y'_0, \cdots, y^{(n-1)}_0)$，假设$\varphi_1 (x), \varphi_2 (x), \cdots, \varphi_n (x)$是它的解，那么这些函数的任意线性组合

$$\widetilde{\varphi} (x) = \sum_{i=1}^n c_i \varphi_i (x)$$

都是#Eq2的解，这被称为叠加原理。

引入 Wronsky 行列式：

$$W(x) = \begin{vmatrix} \varphi_1 (x) & \varphi_2 (x) & \cdots & \varphi_n (x) \\ \varphi'_1 (x) & \varphi'_2 (x) & \cdots & \varphi'_n (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \varphi^{(n-1)}_1 (x) & \varphi^{(n-1)}_2 (x) & \cdots & \varphi^{(n-1)}_n (x) \\ \end{vmatrix}, \quad x \in [a, b]$$

容易验证由函数组$\varphi_1 (x), \varphi_2 (x), \cdots, \varphi_n (x), \forall x \in [a, b]$线性相关可以推出$W(x) \equiv 0, x \in [a, b]$。并且可以证明，如果方程#Eq2存在一组线性无关的解$\varphi_1 (x), \varphi_2 (x), \cdots, \varphi_n (x), \forall x \in [a, b]$（这也就是说$\exists x_0 \in [a, b], W(x_0) \ne 0$），那么必然有$W(x) \ne 0, \forall x \in [a, b].$

因此，方程$(**)$任意$n$个解的 Wronsky 行列式在$x \in [a, b]$上要么处处为零（此时解的函数组线性相关），要么处处不为零（此时解的函数组线性无关）。于是，满足以下$n$个初值条件

$$\begin{cases} \varphi_1 (x_0) = 1, \varphi_2 (x_0) = 0, \varphi_3 (x_0) = 0, \cdots, \varphi_n (x_0) = 0, \\ \varphi'_1 (x_0) = 0, \varphi'_2 (x_0) = 1, \varphi_3 (x_0) = 0, \cdots, \varphi'_n (x_0) = 0, \\ \varphi''_1 (x_0) = 0, \varphi''_2 (x_0) = 0, \varphi_3'' (x_0) = 1, \cdots, \varphi''_n (x_0) = 0, \\ \cdots, \\ \varphi^{(n-1)}_1 (x_0) = 0, \varphi^{(n-1)}_2 (x_0) = 0, \varphi^{(n-1)}_3 (x_0) = 0, \cdots, \varphi^{(n-1)}_n (x_0) = 1. \\ \end{cases}$$

的$n$个解$\varphi_1 (x), \varphi_2 (x), \cdots, \varphi_n (x)$存在且唯一，构成一个函数组，由于$W(x_0) = 1 \ne 0$，故这个函数组是线性无关的，进而得出线性微分方程一定有$n$个线性无关的解。

进一步，我们还可以证明（略去），如果已知这样$x \in [a, b]$上的$n$个线性无关的解（被称为基本解组），那么它所有的解（通解）都可以表示为这$n$个解的线性组合，即

$$\widetilde{\varphi} (x) = \sum_{i=1}^n c_i \varphi_i (x)$$

实际上所有$(**)$的解可以组成一个函数空间$F$，显然这是一个$n$维线性空间。解齐次线性常微分方程的关键，就是找出$n$个线性无关的函数组。

而对于非齐次线性常微分方程#Eq1，已知它的一个特解为$\overline{\varphi} (x)$，且它所对应的齐次方程的通解为$\widetilde{\varphi} (x)$，那么非齐次方程#Eq1的通解为

$$\varphi (x) = \overline{\varphi} (x) + \widetilde{\varphi} (x).$$

因此，求解非齐次的关键是寻找一个特解和对应齐次方程的$n$个线性无关的解。

常数变易法

实际上，对于非齐次方程#Eq1，像一阶的情形那样，我们也可对相应的齐次方程的一个基本解组做常数变易

$$\varphi (x) = \sum_{i=1}^n c_i (x) \varphi_i (x), x \in [a, b]$$

来求得，这里略去证明，仅叙述一个可行的方法。

这里，我们假设已知了齐次方程的一个基本解组$\varphi_1 (x), \varphi_2 (x), \cdots, \varphi_n (x)$，那么有以下关于待定函数$c'_1 (x), c'_2 (x), \cdots, c'_n (x)$的齐次线性方程组

$$\begin{cases} \varphi_1 (x) c'_1 (x) + \varphi_2 (x) c'_2 (x) + \cdots + \varphi_n (x) c'_n (x) = 0, \\ \varphi'_1 (x) c'_1 (x) + \varphi'_2 (x) c'_2 (x) + \cdots + \varphi'_n (x) c'_n (x) = 0, \\ \varphi''_1 (x) c'_1 (x) + \varphi''_2 (x) c'_2 (x) + \cdots + \varphi''_n (x) c'_n (x) = 0, \\ \cdots, \\ \varphi^{(n-1)}_1 (x) c'_1 (x) + \varphi_2^{(n-1)} (x) c'_2 (x) + \cdots + \varphi^{(n-1)}_n (x) c'_n (x) = 0. \\ \end{cases}$$

它的系数行列式就是 Wronsky 行列式$W(x) \ne 0$，因此方程组有唯一非零解（要求解出具体表达式）$c'_1 (x), c'_2 (x), \cdots, c'_n (x)$，这样就得到非齐次方程#Eq1的通解

$$\begin{align} \varphi (x) & = \sum_{i=1}^n \varphi_i (x) \left( \int c'_i (x) \mathrm{d}x + C_i \right) \\ & = \sum_{i=1}^n C_i \varphi_i (x) + \sum_{i=1}^n \varphi_i (x) \int c'_i (x) \mathrm{d}x. \end{align}$$

其中，$C_i, i = 1,2,\cdots,n$是任意常数，为了得到一个特解，仅需令所有积分常数为零，即

$$\overline{\varphi} (x) = \sum_{i=1}^n c_i (x) \varphi_i (x), x \in [a, b]$$

这样就重新获得非齐次的通解为一个特解加上齐次通解的结论。

上下节

• 上一节：一阶常微分方程的解对初值的性质
• 下一节：Euler 待定指数函数法

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.