線性子空間

由集合的包含關係受到啟發，我們來引入線性空間的子空間（subspace）概念。

定義

若$V$是數域$\mathbb{P}$上的一個線性空間，且$\varnothing \ne V_1 \subseteq V$，如果$V_1$關於$V$中定義的兩種運算（向量加法和數乘）在$\mathbb{P}$上是封閉的（即$V_1$也構成一個線性空間），那麼稱$V_1$是$V$的線性子空間（linear subspace），簡稱子空間（subspace），記為$V_1 \leqslant V$。

如果$V_1 \ne V$，那麼稱$V_1$是$V$的真子空間（proper subspace），記為$V_1 < V$。

特別地，如果$\{ \theta \} \ne V_1 < V$，就稱$V_1$是$V$的平凡子空間（trivial subspace），也把零（子）空間$\{ \theta \}$和全空間$V$稱為$V$的非平凡子空間。

生成子空間

設$V$是數域$\mathbb{P}$上的一個線性空間，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \in V$，稱 $$G[\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m] := \left\{ \sum_{i=1}^m k_i \alpha_i~|~k_i \in \mathbb{P}, i = 1, 2, \cdots, m \right\}$$ 為由$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$生成的子空間，即生成子空間（generated subspace）。

子空間的判定

若$V$是數域$\mathbb{P}$上的一個線性空間，且$\varnothing \ne V_1 \subseteq V$，則$V_1$是$V$的子空間若且唯若$V_1$關於$V$中定義的兩種運算（向量加法和數乘）在$\mathbb{P}$上是封閉的。

子空間的運算

子空間的交

若$V_1, V_2 \leqslant V$，那麼易證$V_1 \cap V_2 \leqslant V$，我們稱$V_1 \cap V_2$為$V_1$與$V_2$的交（intersection of subspaces），它是$V$的含於$V_1$也含於$V_2$的最大子空間。

子空間的並

若$V_1, V_2 \leqslant V$，那麼我們稱$V_1 \cap V_2$為$V_1$與$V_2$的並。

兩個子空間的並未必是全空間的子空間，它們的並是子空間若且唯若這兩個子空間有包含關係。

子空間的和與直和

參見直和。

子空間的維數及基底

假設$V$是有限維線性空間，若$V_1 \leqslant V$，則$\dim V_1 \leqslant \dim V$，但是反之不成立。

有限維線性空間的子空間的一組基可以擴充為全空間的基底。

線性子流形

假設$V_1$是線性空間$V$的子空間，另有向量$x \in V$，我們稱如下集合 $$x+V_1 = \{ x+y: y \in V \}$$ 為$V$的線性子流形。子空間中一定有零元素，子流形中不一定有。

如果$V_1$是有限維的，我們稱$x + V_1$的維數是$V_1$的維數。

商空間可以和子流形保局部非零元素同構。

參見

• 上一節：線性空間的同構
• 下一節：直和

參考資料

1. 郭聿琦, 岑嘉評, 王正攀, 《高等代數教程》, 科學出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.