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集合的包含关系受到启发,我们来引入线性空间的子空间(subspace)概念。

定义[]

是数域上的一个线性空间,且,如果关于中定义的两种运算(向量加法和数乘)在上是封闭的(即也构成一个线性空间),那么称线性子空间(linear subspace),简称子空间(subspace),记为

如果,那么称真子空间(proper subspace),记为

特别地,如果,就称平凡子空间(trivial subspace),也把零(子)空间和全空间称为非平凡子空间

生成子空间[]

是数域上的一个线性空间,,称

为由生成的子空间,即生成子空间(generated subspace)。

子空间的判定[]

是数域上的一个线性空间,且,则的子空间当且仅当关于中定义的两种运算(向量加法和数乘)在上是封闭的。

子空间的运算[]

子空间的交[]

,那么易证,我们称(intersection of subspaces),它是的含于也含于的最大子空间。

子空间的并[]

,那么我们称

两个子空间的并未必是全空间的子空间,它们的并是子空间当且仅当这两个子空间有包含关系。

子空间的和与直和[]

参见直和

子空间的维数及基底[]

假设是有限维线性空间,若,则,但是反之不成立。

有限维线性空间的子空间的一组基可以扩充为全空间的基底。

线性子流形[]

假设是线性空间的子空间,另有向量,我们称如下集合

的线性子流形。子空间中一定有零元素,子流形中不一定有。

如果是有限维的,我们称的维数是的维数。

商空间可以和子流形保局部非零元素同构。

参见[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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