由集合的包含关系受到启发,我们来引入线性空间的子空间(subspace)概念。
定义[]
若是数域上的一个线性空间,且,如果关于中定义的两种运算(向量加法和数乘)在上是封闭的(即也构成一个线性空间),那么称是的线性子空间(linear subspace),简称子空间(subspace),记为。
如果,那么称是的真子空间(proper subspace),记为。
特别地,如果,就称是的平凡子空间(trivial subspace),也把零(子)空间和全空间称为的非平凡子空间。
生成子空间[]
设是数域上的一个线性空间,,称
为由生成的子空间,即生成子空间(generated subspace)。
子空间的判定[]
若是数域上的一个线性空间,且,则是的子空间当且仅当关于中定义的两种运算(向量加法和数乘)在上是封闭的。
子空间的运算[]
子空间的交[]
若,那么易证,我们称为与的交(intersection of subspaces),它是的含于也含于的最大子空间。
子空间的并[]
若,那么我们称为与的并。
两个子空间的并未必是全空间的子空间,它们的并是子空间当且仅当这两个子空间有包含关系。
子空间的和与直和[]
参见直和。
子空间的维数及基底[]
假设是有限维线性空间,若,则,但是反之不成立。
有限维线性空间的子空间的一组基可以扩充为全空间的基底。
线性子流形[]
假设是线性空间的子空间,另有向量,我们称如下集合
为的线性子流形。子空间中一定有零元素,子流形中不一定有。
如果是有限维的,我们称的维数是的维数。
商空间可以和子流形保局部非零元素同构。
参见[]
参考资料
- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
978-7-0304-0417-6
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线性代数(学科代码:1102110,GB/T 13745—2009) | |
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