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像矩阵有加法、数乘与乘法运算那样,我们也把这些运算也引入到线性变换中去。

相等关系[]

线性变换是一种映射,因此它可以比较相等关系。定义在同一个线性空间上的线性映射,如果有,我们就说相等的,记作

这也等价于,对于一组基底,成立

也等价于,它们在同一组基底下对应的表示矩阵相同。

加法[]

,将如下变换称作的加法,记作

可以证明,依然是上的线性变换(验证这个变换对向量加法和向量数乘封闭即可)。

也可以证明,若的表示矩阵为,则的表示矩阵为,因此,矩阵加法所具有的性质,在线性变换中依旧成立。

我们可以定义如下运算:

它将所有的向量映成像的负元,可以验证这个运算也是上的线性变换。

因此,我们可以引入减法,作为加法的逆运算:将如下变换称作

它对应的矩阵自然是,因此,矩阵减法所具有的性质,在线性变换中依旧成立。

数乘[]

,将如下变换称作倍,记作

即有 可以证明,依然是上的线性变换(验证这个变换对向量加法和向量数乘封闭即可)。

也可以证明,若的表示矩阵为,则的表示矩阵为,因此,矩阵数乘所具有的性质,在线性变换中依旧成立。

合成(乘法)[]

,将如下变换称作的合成,记作

即有 可以证明,依然是上的线性变换(验证这个变换对向量加法和向量数乘封闭即可)。

也可以证明,若的表示矩阵为,则的表示矩阵为,因此,矩阵乘法所具有的性质,在线性变换中依旧成立。乘法不仅可以从矩阵中受到启发,从映射的合成中也可以受到启发,对于定义在集合上的两个映射

特别注意,像矩阵乘法不具有交换律一样,一般的线性变换的合成也没有交换律,但是结合律依然成立。

像与核的包含关系与线性变换的合成[]

都是线性空间上的线性变换,则有下列结论成立

上述结论很容易用矩阵来表示,这也揭示了线性变换的左合成与右合成和他们的像与核之间的关系。

线性变换空间[]

我们可以把所有线性变换所组成的集合同构到矩阵空间上,这是因为基于如下事实

对于任意一个上的线性变换,和一个矩阵,存在一个双射

这也是我们能够用矩阵表示线性变换的依据。

定义了上述运算后,连同其上的线性变换的加法、数乘构成一个线性空间,我们称为线性变换空间,它是和空间是同构的,线性变换的加法和数乘运算都可以对应到空间上的矩阵加法和数乘运算。因此,在不引起混淆(给定一组基底)的情况下,可以不加区分地使用线性变换和它对应的矩阵

在同构意义下,集合和线性空间没有区别,因此我们可以知道

上下节[]

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