像矩阵有加法、数乘与乘法运算那样,我们也把这些运算也引入到线性变换中去。
相等关系[]
线性变换是一种映射,因此它可以比较相等关系。定义在同一个线性空间上的线性映射
,如果有
,我们就说
和
是相等的,记作
。
这也等价于,对于一组基底
,成立
也等价于,它们在同一组基底下对应的表示矩阵相同。
加法[]
设
,将如下变换称作
和
的加法,记作

可以证明,

依然是

上的线性变换(验证这个变换对向量加法和向量数乘封闭即可)。
也可以证明,若
和
的表示矩阵为
和
,则
的表示矩阵为
,因此,矩阵加法所具有的性质,在线性变换中依旧成立。
我们可以定义如下运算:

它将所有的向量映成像的负元,可以验证这个运算也是

上的线性变换。
因此,我们可以引入减法,作为加法的逆运算:将如下变换称作

它对应的矩阵自然是

,因此,矩阵减法所具有的性质,在线性变换中依旧成立。
数乘[]
设
,将如下变换称作
的
倍,记作

即有

可以证明,

依然是

上的线性变换(验证这个变换对向量加法和向量数乘封闭即可)。
也可以证明,若
的表示矩阵为
,则
的表示矩阵为
,因此,矩阵数乘所具有的性质,在线性变换中依旧成立。
合成(乘法)[]
设
,将如下变换称作
与
的合成,记作

即有

可以证明,

依然是

上的线性变换(验证这个变换对向量加法和向量数乘封闭即可)。
也可以证明,若
和
的表示矩阵为
和
,则
的表示矩阵为
,因此,矩阵乘法所具有的性质,在线性变换中依旧成立。乘法不仅可以从矩阵中受到启发,从映射的合成中也可以受到启发,对于定义在集合
上的两个映射
,
。
特别注意,像矩阵乘法不具有交换律一样,一般的线性变换的合成也没有交换律,但是结合律依然成立。
像与核的包含关系与线性变换的合成[]
设
和
都是线性空间
上的线性变换,则有下列结论成立


上述结论很容易用矩阵来表示,这也揭示了线性变换的左合成与右合成和他们的像与核之间的关系。
线性变换
空间[]
我们可以把所有线性变换所组成的集合
同构到矩阵空间
上,这是因为基于如下事实
对于任意一个
上的线性变换
,和一个矩阵
,存在一个双射

这也是我们能够用矩阵表示线性变换的依据。
定义了上述运算后,
连同其上的线性变换的加法、数乘构成一个线性空间,我们称为线性变换
空间,它是和
空间是同构的,线性变换的加法和数乘运算都可以对应到
空间上的矩阵加法和数乘运算。因此,在不引起混淆(给定一组基底)的情况下,可以不加区分地使用线性变换
和它对应的矩阵
。
在同构意义下,集合
和线性空间
没有区别,因此我们可以知道

上下节[]