从直观几何的旋转等受到启发,我们也将类似的概念引入线性空间中,建立线性变换的概念。
定义[]
若是数域上的一个线性空间,那么把线性映射就称为上的一个线性变换(linear transformation)。
通常用加粗的英文大写或者花体(手写体)英文大写表示。
例如,在 Euclid 空间上进行的 Euclid 变换是线性变换,这一直观模型就是二维空间上的欧几里得变换,如,在上,选择自然基底,则绕原点逆时针旋转角度的变换可以由下列线性变换给出
再比方说,定义在上的差商变换也是一个线性变换
微商变换同样也是
但是积分显然不是,因为它可以把次数为
次的多项式映成
次的,而这个像不再属于
。
线性空间上所有的线性变换组成的集合记作。
特殊的线性变换[]
恒等变换[]
我们把下面的变换称为恒等变换(identity transformation):
恒等变换作用于任意一个向量,它的像仍是它本身,恒等变换常用
表示。
零变换[]
我们把下面的变换称为零变换(zero transformation):
零变换作用于任意一个向量,它的像是零元素,零变换常用
(或直接用加粗的数字
)表示。
线性变换的简单性质[]
设是数域上的一个线性空间,是其上的一个线性变换,,那么显然有
因此,我们可以知道:
- 把中的映成;
- 把中的映成像的负元;
- 把中线性相关的向量组映成线性相关的向量组;
- 把中的子空间依然映成子空间;
特别要注意的是把中的线性无关的向量组不一定映成线性无关的向量组,例如零变换。
表示矩阵[]
像线性函数那样,我们也可以用一个具体可计算的量来表征线性变换,因此,我们借助基底来将线性变换量化。
在线性空间中,假设是一组基,那么可以证明,一个线性变换和一个元向量组是一一对应的。
也就是说,我们可以建立从到向量空间上的一个同构映射,向量组是线性无关向量组。
进而,由于向量组在基底下的坐标
是唯一确定的,所以,只要知道这组坐标,我们就可以对向量空间
有一个量化,进而可以量化线性变换
。
因此有
因此,我们把矩阵称为线性变换的(表示)矩阵(representative matrix),上式也即线性变换求其表示矩阵的计算方法。计算线性变换的表示矩阵,只需要将基底中每个向量的像在该基底下的坐标求出,然后将其按列向量的形式顺序写成矩阵形式即可。
例如,上的微商变换在基底下的表示矩阵为
不同基底下的矩阵[]
设线性变换在基底和下的表示矩阵分别是和,且从基底到的过渡矩阵为,则有
于是
由线性变换表示矩阵在基底下的唯一性可知
这就说明了线性变换在不同基底下的表示矩阵是
相似的。
线性变换的像与核[]
线性变换是特殊的线性映射,因此它的像与核也有特殊之处:都是的子空间,而且我们可以知道,对于线性映射成立的 Sylvester 定理对线性变换也成立,此外,对于上的一个线性变换,假设它在基底下的矩阵为,还可证明如下性质:
- 核空间是齐次线性方程组的解空间。
上下节[]