线性变换

从直观几何的旋转等受到启发，我们也将类似的概念引入线性空间中，建立线性变换的概念。

定义

若$V$是数域$\mathbb{P}$上的一个线性空间，那么把线性映射$f: V \to V$就称为$V$上的一个线性变换（linear transformation）。 通常用加粗的英文大写$\mathbf{A, B, C} \cdots$或者花体（手写体）英文大写$\mathcal{A, B, C} \cdots$表示。

例如，在 Euclid 空间上进行的 Euclid 变换是线性变换，这一直观模型就是二维空间上的欧几里得变换，如，在$\mathbb{P}^2$上，选择自然基底，则绕原点逆时针旋转$\theta$角度的变换可以由下列线性变换给出

$$f:\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$

再比方说，定义在$\mathbb{P}_n[x]$上的差商变换也是一个线性变换

$$\mathcal{D}_{(b)}: f(x) \mapsto \frac{f(x+b) - f(x)}{b}\quad b \ne 0$$

微商变换同样也是

$$\mathcal{D}: f(x) \mapsto f'(x)$$

但是积分显然不是，因为它可以把次数为$n$次的多项式映成$n+1$次的，而这个像不再属于$\mathbb{P}_n[x]$。

线性空间$V$上所有的线性变换组成的集合记作$L(V)$。

特殊的线性变换

恒等变换

我们把下面的变换称为恒等变换（identity transformation）：

$$\forall \alpha \in V, \quad \mathcal{E}: \alpha \mapsto \alpha$$

恒等变换作用于任意一个向量，它的像仍是它本身，恒等变换常用$\mathcal{E}$表示。

零变换

我们把下面的变换称为零变换（zero transformation）：

$$\forall \alpha \in V, \quad \mathcal{O}: \alpha \mapsto \theta$$

零变换作用于任意一个向量，它的像是零元素，零变换常用$\mathcal{O}$（或直接用加粗的数字$0$）表示。

线性变换的简单性质

设$V$是数域$\mathbb{P}$上的一个线性空间，$\mathcal{A}$是其上的一个线性变换，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \in V, k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{P}$，那么显然有

$$\mathcal{A} \left( \sum_{i=1}^m k_i \alpha_i \right) = \sum_{i=1}^m k_i \mathcal{A}(\alpha_i)$$

因此，我们可以知道：

1. $\mathcal{A}$把$V$中的$\theta$映成$\theta$；
2. $\mathcal{A}$把$V$中的$-\alpha$映成$\alpha$像的负元；
3. $\mathcal{A}$把$V$中线性相关的向量组映成线性相关的向量组；
4. $\mathcal{A}$把$V$中的子空间依然映成子空间；

特别要注意的是$\mathcal{A}$把$V$中的线性无关的向量组不一定映成线性无关的向量组，例如零变换。

表示矩阵

像线性函数那样，我们也可以用一个具体可计算的量来表征线性变换，因此，我们借助基底来将线性变换量化。

在线性空间$V$中，假设$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$是一组基，那么可以证明，一个线性变换$\mathcal{A}$和一个$n$元向量组$(\mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n)$是一一对应的。

也就是说，我们可以建立从$\mathcal{A}$到向量空间$V^n$上的一个同构映射，向量组$(\mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n)$是线性无关向量组。

进而，由于向量组$(\mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n)$在基底$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$下的坐标

$$(A_1, A_2, \cdots, A_n) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$$

是唯一确定的，所以，只要知道这组坐标，我们就可以对向量空间$V^n$有一个量化，进而可以量化线性变换$\mathcal{A}$。

因此有

$$(\mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)A$$

因此，我们把矩阵$A$称为线性变换$\mathcal{A}$的（表示）矩阵（representative matrix），上式也即线性变换$\mathcal{A}$求其表示矩阵的计算方法。计算线性变换的表示矩阵，只需要将基底中每个向量的像在该基底下的坐标求出，然后将其按列向量的形式顺序写成矩阵形式即可。

例如，$\mathbb{P}_n[x]$上的微商变换$\mathcal{D}$在基底$\left(1, x, \frac{x^2}{2!}, \cdots, \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)$下的表示矩阵为

$$D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O_{(n-1) \times 1} & E_{(n-1) \times (n-1)} \\ 0 & O_{1 \times (n-1)} \\ \end{pmatrix}$$

不同基底下的矩阵

设线性变换$\mathcal{A}$在基底$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$和$(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)$下的表示矩阵分别是$A$和$B$，且从基底$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$到$(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)$的过渡矩阵为$T$，则有

$$\begin{align} (\mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n) & = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) A \\ (\mathcal{A} \eta_1, \mathcal{A} \eta_2, \cdots, \mathcal{A} \eta_n) & = (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n) B \\ (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) & = (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n) T \end{align}$$

于是

$$\begin{align} (\mathcal{A} \eta_1, \mathcal{A} \eta_2, \cdots, \mathcal{A} \eta_n) & = (\mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n) T \\ & = [(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) A ] T \\ & = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) ( A T ) \\ & = [(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n) T^{-1}]( A T ) \\ & = (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n) ( T^{-1} A T ) \end{align}$$

由线性变换表示矩阵在基底下的唯一性可知

$$B = T^{-1} A T$$

这就说明了线性变换在不同基底下的表示矩阵是相似的。

线性变换的像与核

线性变换是特殊的线性映射，因此它的像与核也有特殊之处：都是$V$的子空间，而且我们可以知道，对于线性映射成立的 Sylvester 定理对线性变换也成立，此外，对于$V$上的一个线性变换$\mathcal{A}$，假设它在基底$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)$下的矩阵为$A$，还可证明如下性质：

1. $\operatorname{Im} \mathcal{A} = G[\mathcal{A}\varepsilon_1, \mathcal{A}\varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A}\varepsilon_n]$
2. $\dim \operatorname{Im} \mathcal{A} = \operatorname{rank}{A}$
3. 核空间是齐次线性方程组$AX = \theta$的解空间。

上下节

• 上一节：线性映射
• 下一节：线性变换的运算

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.