在线性泛函分析中，紧算子 （compact operator）又称致密算子是一类重要的连续线性算子 ，它的谱 理论可以被很好地刻画，也是人们研究的最清楚的一类算子。我们为了讨论方便，直接在 Banach 空间中定义紧算子，有些文献会在一般的赋范线性空间中定义，那里的紧算子的性质和这里会有些不同。还有较旧的一些文献中将紧算子的定义冠名为全连续算子（completely continuous operator），在这里我们将二者区分开来。
定义 [ ] 假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
Banach 空间 ，如果线性算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
T
(
B
)
{\displaystyle T(B)}
Y
{\displaystyle Y}
紧集 ，我们就称
T
{\displaystyle T}
这个定义等价于以下两款中任意一个：
X
{\displaystyle X}
B
(
0
,
1
)
=
{
x
∈
X
:
‖
x
‖
X
<
1
}
{\displaystyle B(0, 1) = \{ x \in X: \| x \|_X < 1 \}}
T
(
B
(
0
,
1
)
)
¯
{\displaystyle \overline{T(B(0, 1))}}
对
X
{\displaystyle X}
{
x
n
}
{\displaystyle \{ x_n \}}
{
T
(
x
n
)
}
{\displaystyle \{ T(x_n) \}}
我们把
X
→
Y
{\displaystyle X \to Y}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
X
=
Y
{\displaystyle X = Y}
C
(
X
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X)}
紧算子虽然是很特殊的连续线性算子，但也不像我们想得十分简单，这是因为：无穷维空间中的紧算子没有有界逆。它的谱可能不是仅有特征值，但也会相对简单。
在有限维空间
X
{\displaystyle X}
T
:
X
→
X
{\displaystyle T: X \to X}
α
{\displaystyle \alpha}
‖
T
x
‖
⩾
α
‖
x
‖
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle \| T x \| \geqslant \alpha \| x \|, \forall x \in X}
度量空间 中紧 等价于序列紧致 ，因此紧算子实际上说明：
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
弱收敛 子列（当然前提假设
X
{\displaystyle X}
自反的 ）。紧算子这一特性能够允许我们在变分上对一个具有强制性的有下界的积分泛函找一个极小化序列，然后这个序列的有界性可以蕴含它在另一个紧嵌入的空间中是强收敛的，对于连续线性算子或连续嵌入而言，这就只能得到弱收敛，因此紧性是十分重要的，很多变分问题的难点在于空间嵌入丧失了这样直接的紧嵌入，因此我们才会使用各种手段找回紧性（例如集中紧性原理 ）。
基本性质 [ ] 可以证明
线性性：
∀
k
,
l
∈
C
,
A
,
B
∈
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \forall k, l \in \C, A, B \in \mathcal{C}(X, Y)}
k
A
+
l
B
∈
C
(
X
,
Y
)
.
{\displaystyle kA + lB \in \mathcal{C}(X, Y).}
闭性：
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X, Y)}
因此，
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X, Y)}
线性子空间 。此外还有
遗传性：假设
X
0
{\displaystyle X_0}
X
{\displaystyle X}
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
T
{\displaystyle T}
X
0
{\displaystyle X_0}
可分性：若
T
:
A
→
Y
{\displaystyle T: A \to Y}
T
{\displaystyle T}
R
(
T
)
=
T
(
X
)
{\displaystyle R(T) = T(X)}
可分的 。
复合：假设
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X, Y, Z}
A
:
X
→
Y
,
B
:
Y
→
Z
{\displaystyle A: X \to Y, B: Y \to Z}
B
A
{\displaystyle BA}
伴随：
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
T
∗
:
Y
∗
→
X
∗
{\displaystyle T^*: Y^* \to X^*}
假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
T
∈
L
(
X
,
Y
)
,
K
∈
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle T \in \mathcal{L}(X, Y), K \in \mathcal{C}(X, Y)}
R
(
T
)
⊂
R
(
K
)
{\displaystyle R(T) \subset R(K)}
T
∈
C
(
X
,
Y
)
.
{\displaystyle T \in \mathcal{C}(X, Y).}
赋范代数：
C
(
X
,
X
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, X)}
Banach 代数 ，且当
X
{\displaystyle X}
全连续 [ ] 和紧算子密切相关的概念是全连续算子，它的定义是：设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
对任意
X
{\displaystyle X}
弱收敛 点列
x
n
⇀
x
{\displaystyle x_n \rightharpoonup x}
T
x
n
{\displaystyle Tx_n}
T
x
.
{\displaystyle Tx.}
我们就称
T
{\displaystyle T}
自反空间 中二者等价。
有穷秩算子的逼近 [ ] 紧算子是很抽象的一类算子，下面我们通过一种简单的算子——有穷秩算子在一定条件下来逼近紧算子。
我们称 Banach 空间上的连续线性算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
R
(
T
)
{\displaystyle R(T)}
X
→
Y
{\displaystyle X \to Y}
F
(
X
,
Y
)
{\displaystyle F(X, Y)}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
有穷秩算子可以用更简单的算子——秩1算子（象集为一维空间）逼近，这仅需注意到有限维空间可以直积分解即可。对于象集是无穷维空间的紧算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
X
{\displaystyle X}
Hilbert 空间 中，这是成立的，在一般的 Banach 空间中未必，而对于具有 Schauder 基 的可分 Banach 空间，这依然是对的。
谱 理论[ ] 假设
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
λ
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \lambda \in \C \setminus \{ 0 \}}
(
λ
I
−
A
)
X
=
X
{\displaystyle (\lambda I - A)X = X}
λ
∈
ρ
(
A
)
{\displaystyle \lambda \in \rho(A)}
(
λ
I
−
A
)
{\displaystyle (\lambda I- A)}
λ
∉
σ
p
(
A
)
{\displaystyle \lambda \notin \sigma_p(A)}
λ
∈
ρ
(
A
∗
)
.
{\displaystyle \lambda \in \rho(A^*).}
Riesz-Schauder 理论表明：假设
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
当
dim
X
=
+
∞
{\displaystyle \dim X = +\infty}
0
∈
σ
(
A
)
.
{\displaystyle 0 \in \sigma(A).}
非零谱点是特征值 。
当
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda\neq0}
A
{\displaystyle A}
λ
{\displaystyle \lambda}
不同特征值对应的特征向量彼此是线性无关的。
σ
(
A
)
{\displaystyle \sigma (A)}
紧算子的预解式
R
λ
(
A
)
{\displaystyle R_\lambda(A)}
λ
{\displaystyle \lambda}
R
λ
(
A
)
=
∑
k
=
−
n
+
∞
C
k
(
λ
−
λ
0
)
k
.
{\displaystyle R_\lambda(A) = \sum_{k=-n}^{+\infty} C_k (\lambda - \lambda_0)^k.}
C
k
,
k
=
−
n
,
−
n
+
1
,
⋯
{\displaystyle C_k, k = -n,-n+1,\cdots}
Fredholm 理论 [ ] Fredholm 理论研究的问题是 Banach 空间
X
{\displaystyle X}
A
:
X
→
X
{\displaystyle A: X \to X}
T
x
=
y
.
{\displaystyle Tx = y.}
T
=
I
−
A
.
{\displaystyle T = I - A.}
I
{\displaystyle I}
Riesz-Fredholm 定理指出：
σ
(
T
)
=
σ
(
T
∗
)
.
{\displaystyle \sigma(T) = \sigma(T^*).}
dim
ker
T
=
dim
ker
T
∗
<
+
∞
.
{\displaystyle \dim \ker T = \dim \ker T^* < +\infty.}
R
(
T
)
=
(
ker
T
∗
)
⊥
:=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
=
0
,
∀
f
∈
ker
T
∗
}
.
{\displaystyle R(T) = (\ker T^*)^\perp := \{ x \in X: f(x) = 0, \forall f \in \ker T^* \}.}
R
(
T
∗
)
=
⊥
ker
T
:=
{
f
∈
X
∗
:
f
(
x
)
=
0
,
∀
x
∈
ker
T
}
.
{\displaystyle R(T^*) = {}^\perp \ker T := \{ f \in X^*: f(x) = 0, \forall x \in \ker T \}.}
详见 Riesz-Fredholm 定理 。
不变子空间 [ ] 无穷维空间中连续线性算子的非平凡不变子空间的存在性是人们关注的一个问题，Neumann 首先研究了无穷维 Hilbert 空间 上的紧算子具有非平凡的不变子空间，后来 N. Aronszajn 和 K. Smith 推广带了一般的复 Banach 空间中去。根据谱理论我们知道只要紧算子
A
{\displaystyle A}
（Lomonosov）设
X
{\displaystyle X}
B
∈
L
(
X
)
{\displaystyle B \in L(X)}
B
≠
α
I
,
∀
α
∈
C
{\displaystyle B \ne \alpha I, \forall \alpha \in \C}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
Cauchy 积分公式 [ ] 复分析中有著名的 Cauchy 积分公式 ，在紧算子理论中有类似的性质存在：假设
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
A
{\displaystyle A}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
|
λ
−
λ
0
|
⩽
ε
{\displaystyle |\lambda - \lambda_0| \leqslant \varepsilon}
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
P
λ
0
:=
1
2
π
i
∫
|
λ
−
λ
0
|
=
ε
(
λ
I
−
A
)
−
1
d
λ
{\displaystyle P_{\lambda_0} := \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{|\lambda - \lambda_0| = \varepsilon} (\lambda I - A)^{-1} \mathrm{d}\lambda}
P
λ
0
2
=
P
λ
0
.
{\displaystyle P_{\lambda_0}^2 = P_{\lambda_0}.}
P
λ
0
X
{\displaystyle P_{\lambda_0} X}
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
P
λ
0
X
{\displaystyle P_{\lambda_0} X}
P
λ
0
A
=
A
P
λ
0
.
{\displaystyle P_{\lambda_0} A = A P_{\lambda_0}.}
P
λ
0
∗
X
∗
{\displaystyle P_{\lambda_0}^* X^*}
A
∗
{\displaystyle A^*}
A
∗
{\displaystyle A^*}
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
P
λ
0
∗
X
∗
{\displaystyle P_{\lambda_0}^* X^*}
P
λ
0
∗
X
∗
=
(
P
λ
0
X
)
∗
.
{\displaystyle P_{\lambda_0}^* X^* = (P_{\lambda_0} X)^*.}
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^*}
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
参考资料 
