紧算子

紧连续算子或称全连续算子是泛函分析上的一个重要概念，很多偏微分方程的解的存在性问题可以归结为紧算子的不动点问题。这个页面主要介绍一般地可能是非线性算子的紧算子，对于线性泛函分析上的紧算子参见紧连续线性算子。

定义

假设有赋范线性空间$X, Y$，我们称算子$T: X \to Y$是紧的，如果它将$X$中的有界集映为$Y$中的列紧集，即对任意$X$中的有界集$E$而言，${\overline {T(E)}}$是紧集。

由于列紧集是有界集，这就说明紧算子是有界算子。如果$T$还是连续的，我们就称$T$是全连续的或紧连续的。

一致极限

下面这个定理指出，全连续算子的一致极限依然全连续：

假设$\{ T_n \}$是赋范线性空间$X$到$Y$的一个紧连续算子序列，且$T: X \to Y$满足对任意$X$中的有界集$E$，都有

$$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in E}\|T_{n}x-Tx\|=0.$$

那么$T$是紧连续的。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

先证明$T$连续，对任意$x_{m}\to x_{0}{\text{ in }}X$，由于收敛序列是有界序列，即$E=\{x_{m}\}_{m=0}^{\infty }$在$X$中有界，那么 $$\lim _{n\to \infty }\sup _{m\in \mathbb {N} }\|T_{n}x_{m}-Tx_{m}\|=0.$$ 这就表明存在$N_{1}\in \mathbb {N}$使得当$n > N_1$的时候成立$\|T_{n}x_{m}-Tx_{m}\|<{\dfrac {\varepsilon }{3}}.$ 又由$T_n$的连续性的到存在$N_2>N_1$使得当$n>N_{2}$的时候成立$\|T_{n}x_{m}-T_{n}x_{0}\|<{\dfrac {\varepsilon }{3}}.$ 于是 $${\begin{aligned}\|Tx_{m}-Tx\|&\leqslant \|Tx_{m}-T_{n}x_{m}\|+\|T_{n}x_{m}-T_{n}x_{0}\|+\|T_{n}x_{0}-Tx_{0}\|\\&<{\dfrac {\varepsilon }{3}}+{\dfrac {\varepsilon }{3}}+{\dfrac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon .\end{aligned}}$$ 下面证明$T$是紧的，假设$E$是$X$中的任意非空有界集，要证明$T(E)$列紧，只要证明他有有限的$\varepsilon {\text{-}}$网，由假设存在$N_{3}\in \mathbb {N}$使得当$n>N_{3}$的时候成立 $$\sup _{x\in E}\|T_{n}x-Tx\|<{\dfrac {\varepsilon }{2}}.$$ 因为$T_n$紧，所以$T_{n}(S)$有有限的$\varepsilon /2{\text{-}}$网，进而$T(E)$有有限的$\varepsilon {\text{-}}$网。

在线性泛函分析中我们知道，有限秩线性算子的一致极限是全连续的线性算子，这在非线性泛函分析中一定程度上是对的。

假设$E$是$X$中的有界闭集，$T:E\to Y$连续，则$T$全连续当且仅当对任意$\varepsilon > 0$存在有限秩的有界连续映射$T_{n}:E\to Y_{n}$使得

$$\sup _{x\in E}\|T_{n}x-Tx\|<\varepsilon .$$

其中${\text{dim }}Y_{n}<+\infty .$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

充分性：有限秩的连续映射是全连续的，因为对任意有界集$F\subset E$，$f(F)$是有界的且有限维空间中有界集是相对紧的。因此根据上面一个定理得到$T$是全连续的。

必要性：对任意选定的$\varepsilon > 0$，由$F(E)$相对紧可知存在有限的$\varepsilon {\text{-}}$网$\{y_{k}\}_{k=1}^{N_{\varepsilon }}$，其中$N_{\varepsilon }<+\infty$，假设$Y_n$是$\{y_{k}\}_{k=1}^{N_{\varepsilon }}$张成的子空间，定义非线性映射 $$T_{n}(x)=\left(\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)\right)^{-1}\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)y_{k},\quad d_{k}(y)={\text{dist}}(y,Y\setminus B(y_{i},\varepsilon )).$$ 于是$T_n(x)$是连续函数的复合，且分母恒为正数，因此是连续的，有界性由三角不等式保证，它在最大的集合$E$上的一个上界是$\max _{1\leqslant k\leqslant N_{\varepsilon }}\|y_{k}\|.$下面说明它是一致逼近$T$的， $${\begin{aligned}\|T_{n}x-Tx\|&=\left(\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)\right)^{-1}\left\|\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)(y_{k}-F(x))\right\|\\&\leqslant \left(\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)\right)^{-1}\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)\left\|y_{k}-F(x)\right\|\\&<\left(\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)\right)^{-1}\sum _{k=1}^{N_{\varepsilon }}d_{k}(Tx)\varepsilon =\varepsilon .\end{aligned}}$$

这表明，如果$T: X \to Y$是全连续线性算子，它限制在闭单位球上是满足上面的条件的，这样它可以被有限秩算子逼近，但是用来逼近的有限秩算子未必是线性的。

导算子

一个紧算子，如果是$p$阶连续可微的（在 Frechet 导数意义下），那么它的导算子也具有某种紧性：

假设$X$是赋范线性空间，$Y$是 Banach 空间，$E$是$X$中的开子集，且$F:U\to Y$是$p$阶连续可微的紧算子，$p$是非负整数，那么对任意的$x_0\in E$而言，$f^{(p)}(x_{0})$将${\mathcal {L}}^{(p)}(X,Y)$中的有界集${\begin{matrix}\{(\underbrace {h,h,\cdots ,h} ):&h\in X,\|h\|<M\}\\p{\text{ times}}&\end{matrix}}$映为$Y$中的相对紧集，特别地，$p = 1$的时候，$f'(x_0)$是$X \to Y$的紧算子。