紧空间

在拓扑学中，紧空间又称紧致空间（compact space）是一类重要的拓扑空间，同时也是 Lindelof 空间。

定义

假设$X$是拓扑空间，我们称它是紧空间是指任意开覆盖都有有限子覆盖。

假设$X$是拓扑空间，$A$是$X$的子集，我们称它是紧集是指$A$作为$X$的子空间是紧空间，这等价于每一个由$X$中的开集构成的$A$的覆盖都有有限子覆盖。

拓扑空间中任意有限子集都是紧集。

等价刻画

假设有拓扑空间$X$，$X$是紧空间当且仅当$X$的每一个具有下述性质的闭集族$\mathcal{A}$都有非空交，这个性质是：$\mathcal{A}$的每一个有限子族有非空交。

另外，拓扑空间的紧性由它的一组拓扑基决定，这是说：拓扑空间$X$紧当且仅当$X$的一组拓扑基$\mathcal{B}$中元素构成的每一个覆盖都有有限子覆盖。如果一个拓扑空间的拓扑基可以有有限个元素构成，那么这个空间显然是紧的。

基本性质

下面我们均假设紧集定义在某个拓扑空间上，且映射是拓扑空间之间的映射。

1. 紧性是可商的：假设$f: X \to Y$是连续映射，$A \subset X$紧，那么$f(A)$紧。
2. 紧性不是可遗传的性质，但是紧空间中的闭子集是紧集。
3. 任意拓扑空间都是某个紧空间的开子空间。对于非紧空间，它可以是原空间的一点紧化的开子空间。
4. 紧性是可积的性质：紧空间的有限乘积空间是紧的。
5. 有限个紧集的并集是紧集。
6. 任意紧闭集的交集还是紧集。
7. 紧集的闭包可以不是紧集。
8. 拓扑线性空间中的紧集$A, B$的直接和$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$还是紧集。
9. 拓扑线性空间中的紧集$A$和闭集$B$的直接和$A + B$是闭集。

分离性质

紧致性和分离性结合会使得拓扑空间的结构变得更为简单。

1. Hausdorff 空间中紧致子集是闭集，因此紧致的 Hausdorff 空间中紧集和闭集等价，从而是$T_3$的。
2. Hausforff 空间中，两个不交的紧集存在各自的开邻域使得它们不相交，因此紧致的 Hausdorff 空间是$T_4$的。
3. 对于$T_3$空间中的紧集$A$的开邻域$U$，存在$A$的开邻域$V$使得$\overline{V}\subset U.$因此紧致的$T_3$空间是$T_4$的。
4. 对于$T_3$空间中的紧集$A$，$Y \subset X$，如果$A \subset Y \subset \overline{A}$，那么$Y$紧。
5. 紧空间到 Hausdorff 空间的任意连续映射$f$是闭的，因此若$f$是双射，则$f$是同胚。
6. 紧空间上的连续函数有界且可以达到上下确界。
7. 对于紧致的 Hausdorff 空间$X$来说，$X$可度量化当且仅当$X$第二可数。

度量空间

度量空间中的紧性有更直观和简单的性质（注意度量空间满足所有的分离公理）。

1. 紧致度量空间是有界的，因此度量空间中紧集是有界集。
2. 度量空间中两非空紧集$A, B$的距离$d(A, B)$可达：存在$x \in A, y \in B, d(x, y) = d(A, B).$
3. Euclid 空间中紧集等价于有界闭集，但是一般的度量空间中有界闭集不一定是紧集。
4. Euclid 空间$\R^n$的一点紧化同胚于$n$为单位球面$S^n.$

在度量空间中，这些紧致性的概念是等价的：假设$X$是度量空间，那么

1. $X$是紧空间。
2. $X$是伪紧空间。
3. $X$是列紧空间。
4. $X$是可数紧致空间。
5. $X$是序列紧致空间。

伪紧空间

假设$X$是拓扑空间，如果对任意连续函数$f: X \to \R$，象集$f(X)$是$\R$中的有界集，我们就称$X$是伪紧空间。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.