素理想

素理想（prime ideal）是一种特殊的理想，就像素数在所有整数中的作用一样。素理想代表了某种不可约性质。

概念

设$R$是一交换环，$I \ne R$是$R$上的一个理想，如果$R/I$是整环就称$I$是一个素理想，若$R/I$是一个域，则称$I$是$R$的极大理想（maximal ideal）。

显然极大理想是素理想。

等价刻画

交换环$R$上的一个理想$I$是素理想当且仅当$\forall a, b \in R$由$ab \in I$可推出$a\in I$或$b \in I.$

例如，在整数环中，上述条件就是说$ab | p$可得到$a | p$或$b | p$，这里$p$是且仅是素数。这也是“素”名字的由来。

$I$是$R$的极大理想当且仅当对任意的理想$J \subseteq R$，$I \subseteq J$可得到$I = J$或$J = R.$这也是“极大”名字的由来。

性质

一般来说，素理想不一定是极大理想，但是下面的一些场合下它们是一致的：均假设$I$是交换环$R$的理想，

1. 如果$R/I$是有限的，那么$I$是素理想当且仅当它是极大理想。
2. 如果$I$是主理想整环$R$上的非零理想，那么$I$是素理想当且仅当它是极大理想。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.