質數又稱素數,是指只能被或自身整除的自然數,一般用表示,數論的研究中,許多主題與質數相關。
從某種角度來看,質數可說是整數的原子。不是質數且比2大的數稱為合數,另0與1不是質數,也不是合數。
雖已在兩千多年前,歐幾里德就已用反證法證明質數有無限多個,但直至今日,人們對質數於正整數中的分佈並沒有很確切的了解。
性質[]
- 除了以外,所有的質數都是奇數;且除了5以外,在十進制下,沒有質數以結尾。
- 可以很容易證明質數有無限多個,而且許多定理亦蘊含了質數是無限多個的事實。
- 有些質數和另一個質數之間只差,這一對差的質數又稱孿生質數,目前尚不知孿生質數是否有無限多對。
- 若和為任意大於等於的孿生質數,則其間的可被除盡,因為、和必有一數可為除盡,且和皆為大於質數之故(除了以外,所有的質數都是奇數),因此必為偶數且為3所除盡。
- 對於任意的正整數而言,與間至少有一質數。
- 任意正整數都可唯一地表示成質數乘方的乘積(算術基本定理)。
- 若一個數是合數,則它必定有一個因數小於等於,因此若要驗證任意數是否是質數,只要讓被所有小於等於的質數除過一遍就好了。
- 對於任意正整數而言,和間至少會有一個質數。
- 對於任意正整數而言,我們永遠可以找到個彼此相鄰且不是質數的數,只要取(其中第一個數可被除盡、第二個數可被除盡,以此類推)即可。
應用[]
質數自從被發現以來,有很長一段時間,質數在人類社會都沒有什麼數學研究外的用途,但近年來此現象已出現改變,以下為已知質數的可能用途。
- 目前質數已被用於某些加密系統中,如RSA加密演算法。
- 某些種類的蟬需要13或17年的時間才能羽化,某些生物學家認為之所以使用質數的週期,可能和藉此將生命週期與獵食者、寄生蟲等的生命週期錯開的因素有關。
參見[]
- 質因數分解(整數的惟一因子分解定理)
- 質數分佈(介紹有關質數分佈的初等結果)
- Eratosthenes篩法(一種尋找質數的方法)
- 威爾森定理(驗證某數是否是質數的一個方法)
- 費馬數(形如的數)
- 完全數
- 哥德巴赫猜想
- 黎曼Zeta猜想
- 孿生質數猜想
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初等数论(学科代码:1101710,GB/T 13745—2009) 整除理论 整除 ▪ 带余除法 ▪ 素数 ▪ 公因数 ▪ 辗转相除法 ▪ 公倍数 ▪ 惟一因子分解定理 ▪ 容斥原理 同余理论 同余 ▪ 同余类(完全代表系,缩同余类) ▪ 同余类的代数结构 ▪ 一次同余方程 ▪ 中国剩余定理 ▪ 线性同余方程组 ▪ 二元一次同余方程组 剩余理论 Euler-Fermat 定理 ▪ 原根 ▪ 指数 ▪ 威尔森定理 ▪ K 次剩餘 ▪ 二次剩余 ▪ Legendre 符号 ▪ 二次互反律 ▪ Jacobi 符号 ▪ 二次同余方程 数论函数 除数函数 ▪ 除数和函数 ▪ Euler 函数 ▪ Liouville 函数 ▪ Möbius 反演公式 ▪ 数论函数的卷积 ▪ 数论函数的均值 ▪ Dirichlet 特征 不定方程 二元一次不定方程 ▪ Pythagoras 方程 ▪ 四平方和问题 ▪ 二平方和问题 ▪ Fermat 方程 ▪ 立方和问题 素数分布 Eratosthenes 筛法 ▪ 素数定理 ▪ Chebyshev 函数 ▪ Mangoldt 函数 ▪ Euler 恒等式 所在位置:数学(110)→ 数论(11017)→ 初等数论(1101710)