算子值函数

在泛函分析中，算子值函数是向量值函数在一般的值域为赋范线性空间中的推广，线性算子的谱运算是算子值函数的特例。我们讨论的算子值函数一般指的是线性算子值函数。

定义

为了研究算子范数的目的性，我们不妨先引入定义域为某个数域上的算子值函数。

假设有赋范线性空间$X$，用$X^*$表示$X$上的连续线性泛函按照算子范数构成的赋范线性空间，$L(X)$表示$X$上的有界/连续线性算子。$\mathbb{K}$是域，$U \subset \mathbb{K}$是非空集合，称$u: U \to L(X)$为算子值函数。

有了这个概念我们自然想定义连续性和可微性等概念，在下面的表述中，我们会使用作用记号$\langle f, x \rangle$来指代线性泛函$f \in X^*$作用在$x \in X$上，即$\langle f, x \rangle = f(x).$先引入连续性：

假设有算子值函数$u: U \to L(X)$，$t_0 \in U.$如果

1. 如果$$\lim_{t \to t_0} \| u(t) - u(t_0) \| = 0.$$我们就称$u$在$t=t_0$处按一致算子拓扑连续。
2. 如果对任意$x \in X$都有$$\lim_{t \to t_0} \| u(t) - u(t_0)(x) \| = 0.$$我们就称$u$在$t=t_0$处按照强算子拓扑连续。
3. 如果对任意$x \in X, f \in X^*$都有$$\lim_{t \to t_0} \langle f, (u(t) - u(t_0))(x) \rangle = 0.$$我们就称$u$在$t=t_0$处按照弱算子拓扑连续。

上述概念，按一致算子拓扑连续可以推出按照强算子拓扑连续，按照强算子拓扑连续可以推出按照弱算子拓扑连续，反之不真。

算子值函数有如下性质：

假设$u$是由有界闭集$U$到 Banach 空间$X$的算子值函数，且它在$U$中按照弱算子拓扑连续，那么$\{ \| u(t): t \in U \| \}$是有界集。

可测性

为了在泛函分析中的应用，我们需要在测度空间上定义泛函，因此引出算子值的可测函数。为此我们需要先定义向量值可测函数。

向量值可测函数

假设有集合$U \subset \mathbb{K}$以及完全测度空间$(U, \mathcal{F}, \mu)$，且有赋范线性空间$X$，假设有向量值函数$x: U \to X$，如果对任意$f \in X^*$都有$f(x(t))$是$(U, \mathcal{F}, \mu)$上的可测函数，我们就称$x$是弱可测函数。

自然我们想定义强可测函数，这需要先定义下面的概念：

假设向量值函数$x: U \to X$，如果可以把$U$分解为至多可数个互不相交的可测集$\{ U_k \}$之并，且在每个$U_k$上，$x(t)$取常值$x_k \in X.$我们就称$x$为可数值函数。

假设有集合$U \subset \mathbb{K}$以及完全测度空间$(U, \mathcal{F}, \mu)$，且有赋范线性空间$X$，如果存在一列可数值函数$\{ x_k \}$使得$\{ x_k \}$几乎处处收敛于$x$，我们就称$x$是强可测函数。

强可测函数$x(t)$是弱可测的，且$\| x(t) \|$是可测函数。反过来，Pettis 证明了：完全测度空间$(U, \mathcal{F}, \mu)$上的向量值函数$x(t)$是强可测的当且仅当他是弱可测的且是几乎可分值的。所谓可分值的，是指$\{ x(t): t \in U \}$是$X$的可分子集。几乎可分值的，是指存在零测集$U_0 \subset U$使得$\{ x(t): t \in U \setminus U_0 \}$是可分子集。

进而，如果$X$是可分空间，那么强可测和弱可测等价。

算子值可测函数

假设$u: U \to L(X)$是算子值函数，定义：

1. 如果存在可数值的向量值函数序列$\{ u_k \}$在一致拓扑的意义下几乎处处收敛到$u$，我们就称$u$在$U$上一致可测。
2. 如果对任意$x \in X$，向量值函数$U(t)(x)$强可测，则称$u$在$U$上强可测。
3. 如果对任意$x \in X, f \in X^*$，$\langle f, U(t)(x) \rangle$可测，则称$u$在$U$上弱可测。

这三种可测性有如下联系：

1. $u$是强可测的当且仅当$u$弱可测，且$\forall x \in X$，$u(t)(x)$几乎可分值。
2. $u$是一致可测的当且仅当$u$弱可测，且$u$在$X^*$几乎可分值。

积分

引入可测性的一个直接目的是定义向量值函数（特别是算子值函数）的积分，这种积分的灵感来源于 Lebesgue 积分，在强可测和弱可测两种不同场合可以定义两种不同的积分，分别称为 Bochner 积分和 Pettis 积分。

对于算子值函数的 Bochner 积分，有两种不同拓扑下的定义：以下均假设$X, Y$是 Banach 空间，算子值函数$u: U \to L(X, Y).$

一致 Bochner 可积

称$u$是一致 Bochner 可积的，如果$u(t)$一致可测且$\int_E \| u(t) \| \mathrm{d}\mu(t) < +\infty.$这就是将算子值函数$u$视为一般的向量值函数，按照向量值函数的 Bochner 积分定义出来的可积性。

$U \to L(X, Y)$上的全体一致 Bochner 可积的向量值函数全体组成的空间记作$B(U, L(X, Y), \mu)$，其中的元素$u$的一致 Bochner 积分为$\int_U u(t) \mathrm{d}\mu(t) \in L(X, Y).$这个空间是 Banach 的。

假设$u \in B(U, L(X, Y), \mu)$，那么共轭空间中的元素$u^* \in (U, L(Y^*, X^*), \mu)$满足 $$\left( \int_U u(t) \mathrm{d}\mu(t) \right)^* = \int_U u^*(t) \mathrm{d}\mu(t).$$

强 Bochner 可积

如果对任意$x \in X$都有$u(t)(x) \in B(U, Y, \mu)$，那么如下映射 $$V: x \mapsto \int_U u(t)(x) \mathrm{d}\mu(t)$$ 是连续线性算子。这时称$u(t)$是强 Bochner 可积的，定义它的强 Bochner 积分是$V.$

可以证明，一致 Bochner 可积是强 Bochner 可积的，反之未必。

参考资料

1. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.