等比数列是一种特殊的数列,其任意一项与其后一项的比值为一固定非零常数,该常数称之为公比.
由上可知:等比数列的递推公式为 a n + 1 = a n q {\displaystyle a_{n+1}=a_{n}q} ,于是有通项公式 a n = a 1 q n − 1 {\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}} . 并规定对于数列中连续的三项 a n − 1 , a n , a n + 1 {\displaystyle a_{n-1},a_{n},a_{n+1}} 中, a n {\displaystyle a_n} 是 a n − 1 , a n + 1 {\displaystyle a_{n-1},a_{n+1}} 的等比中项.
对于一个有 n + 1 {\displaystyle n+1} ( n ∈ N ) {\displaystyle (n\in \mathbb {N} )} 项,首项为 a 1 {\displaystyle a_1} ,公比为 q {\displaystyle q} ( q ≠ 1 ) {\displaystyle (q\neq 1)} 的有限等比数列 { a n } {\displaystyle \{ a_n \}} ,则 S n {\displaystyle S_n} 可以表示为 a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 + . . . + a 1 q n − 1 {\displaystyle a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+...+a_{1}q^{n-1}} . 显然 n = 0 {\displaystyle n=0} 时成立.
n ≥ 1 {\displaystyle n \geq 1} 时考虑 q S n = a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 + . . . + a 1 q n − 1 + a 1 q n {\displaystyle qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+...+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}} ,并与上式相减得到:
当 q ∈ ( − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) {\displaystyle q\in (-1,0)\cup (0,1)} 时,容易证明 { a n } {\displaystyle \{ a_n \}} 的极限是 0 {\displaystyle 0} ,故有无穷等比数列的求和公式:
对于等比数列,一种基于累乘而得到的数列,自然容易联想到前 n {\displaystyle n} 项积(通常表示为 P n {\displaystyle P_n} )的公式. 容易证明该公式为: