等比数列

等比数列是一种特殊的数列，其任意一项与其后一项的比值为一固定非零常数，该常数称之为公比.

定义

由上可知：等比数列的递推公式为$a_{n+1}=a_{n}q$，于是有通项公式$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$. 并规定对于数列中连续的三项$a_{n-1},a_{n},a_{n+1}$中，$a_n$是$a_{n-1},a_{n+1}$的等比中项.

求和公式

对于一个有$n+1$$(n\in \mathbb {N} )$项，首项为$a_1$，公比为$q$$(q\neq 1)$的有限等比数列$\{ a_n \}$，则$S_n$可以表示为$a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+...+a_{1}q^{n-1}$. 显然$n=0$时成立.

$n \geq 1$时考虑$qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+...+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}$，并与上式相减得到：

$$(q-1)S_{n}=a_{1}q^{n}-a_{1}$$

进而得到$S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$.

当$q\in (-1,0)\cup (0,1)$时，容易证明$\{ a_n \}$的极限是$0$，故有无穷等比数列的求和公式：

$$S_{n}={\frac {a_{1}}{1-q}}$$

求积公式

对于等比数列，一种基于累乘而得到的数列，自然容易联想到前$n$项积（通常表示为$P_n$）的公式. 容易证明该公式为：

$$P_{n}=a^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}$$