等价范数定理

等价范数定理是赋范线性空间中的一个关于范数完备的定理。我们知道有限维赋范线性空间和 Euclid 空间代数同构拓扑同胚，因此其上的范数均等价，但对于无穷维赋范线性空间这件事情不一定成立，等价范数定理揭示了两个范数均可使原空间完备且只要其中一个比另一个强就可得到这两个范数等价。

范数等价的定义

我们称赋范线性空间$V$中的范数$\| \cdot \|_1$比范数$\| \cdot \|_2$强是指 $$\| x_n \|_2 \to 0 \Longrightarrow \| x_n \|_1 \to 0.$$ 如果此时还有$\| \cdot \|_1$比$\| \cdot \|_2$强，我们就说这两个范数等价。

范数$\| \cdot \|_1$比范数$\| \cdot \|_2$强还等价于存在一个正常数$C$使得$\forall x \in X, \| x \|_1 \leqslant C \| x \|_2.$

等价范数定理

假设有赋范线性空间$X$及其上的两个范数$\| \cdot \|_1, \| \cdot \|_2$，如果$X$关于这两个范数完备且$\| \cdot \|_2$比$\| \cdot \|_2$强，那么二者必等价。

证明

考察恒等映射$I: (X, \| \cdot \|_2) \to (X, \| \cdot \|_1)$，它是线性映射，由于$\| \cdot \|_2$比$\| \cdot \|_1$强，故存在正常数$C$使得 $$\| Ix \|_1 \leqslant C \| x \|_2.$$ 因此$I$有界，进而它连续，又因为它是双射，故由 Banach 逆算子定理可知$I^{-1}$存在且连续，即存在$M > 0$使得 $$\| I^{-1}x \|_2 \leqslant M \| x \|_1.$$ 这就表明$\| \cdot \|_1$比$\| \cdot \|_2$强，证毕。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.