等价标准型

为了简化矩阵运算并发现不同矩阵之间的联系，我们可以讨论矩阵经过矩阵的初等变换后能化为怎样的简单形式，并在等价概念的基础之上找出$\mathbb{P}^{m \times n}$的等价类。

等价标准型正好就是上述矩阵做初等变换后的等价类——即$\mathbb{P}^{m \times n}$上的等价关系$\sim$，两个矩阵等价当且仅当他们可以通过初等行或列变换互相转换，它反映了矩阵的秩的性质。同样还有其他的一些矩阵的等价类，例如矩阵的相似标准型和合同标准型等等。

阶梯形矩阵

设$A \in \mathbb{P}^{m \times n}$是一个阶梯形矩阵，如果$A$满足如下两条性质：

1. $A$的零行（指一行的所有元素都是$0$的行）在最下方；
2. $A$的每一个非零行的第一个非零元素所在的列随所在行数的增加而严格递增。

特别地，我们规定零矩阵$O$也是阶梯形矩阵。以上的定义是针对行而言的，也可以将它对称推广到列上，定义第二类阶梯形矩阵。

例如，设$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，那么$A$是阶梯形矩阵，而$B$不是，因为不满足第二条的严格性。

行简化的阶梯形矩阵

设$A$是阶梯形矩阵，称$A$是行简化的阶梯形矩阵，如果$A$还满足以下两个条件：

1. $A$的每一个非零行的第一个非零元素是$1$；
2. $A$的每一个非零行的第一个非零元素所在列的其它元素是$0$。

行等价标准型

任何一个矩阵都可以经过有限次初等（行）变换化简为阶梯形矩阵，进一步，还可化简为行简化的阶梯形矩阵。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

证明过程实际上也就是矩阵的化简过程，它是通过归纳法完成的。先说明定理的前半部分：考虑第一列，有以下三种情况，

1. 如果第一列的所有元素都是零，那么第一列化简完成；
2. 如果$a_{11} \ne 0$，那么将第一行的$-\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}$逐步加到第$i$行上（$i = 2,3,\cdots,m$），这样，第一列化简完成；
3. 如果$a_{11} = 0$而第一列中（至少）有一个非零元素$a_{i1}$，那么就将第$i$行加到第一行上去，就化为第二种情况了。

这样，逐步一列一列地处理，直到处理所有列。以上我们只用到了第二类初等行变换。

再说明定理的后半部分，即化简为行简化的阶梯形矩阵：假设$A = (a_{ij})_{m \times n}$已经是一个阶梯形矩阵了，设$A$的前$r \leqslant \min\{m, n\}$行是非零行，设第$i$行的第一个非零元素是$a_{it_i}$（$i = 1, 2, \cdots, r$），将第$i$行乘以$\dfrac{1}{a_{it_i}}$倍，则行简化的阶梯形矩阵的第一个条件满足了。

这时设化简后的矩阵是$A' = (a'_{ij})_{m \times n}$，可将第$i$行的$- a'_{jt_i}$倍依次加到第$j$行上去，$i,j = 1, 2, \cdots, r, j < i$，这样行简化的阶梯形矩阵的第二个条件也满足了。

以上化简过程只用到了第一、二类初等行变换。

我们证明了：任何一个矩阵都行等价于一个行简化的阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵称为$A$的行等价标准型，同样地，我们也可定义列等价标准型。

行等价关系也是一种等价关系，它满足自反性、对称性以及传递性，两个矩阵有相同的行等价标准型当且仅当它们是行等价的。

矩阵的等价标准型

设$A \in \mathbb{P}^{m \times n}$，则$A$等价于如下形式的一个矩阵

$$\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$$ 其中，$r \geqslant 0$，称上述矩阵为$A$的等价标准型（equivalent canonical form）。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

证明过程也就是做初等变换的化简过程，由于任意一个$A \in \mathbb{P}^{m \times n}$都可以化为行简化的阶梯形矩阵，我们直接设$A$是一个行简化的阶梯形矩阵，对它进行化简，可以化为如上标准型。设$A$中前$r \leqslant \min\{m, n\}$行是非零行，设每一行的第一个非零元素是$a_{it_i} = 1$，于是我们可将第$i$列与第$t_i$列交换，$i = 1, 2, \cdots, r$，因此前$r$行前$r$列构成一个单位阵。

设此时矩阵$A$化为$A' = \begin{pmatrix} E_r & B \\ O & O \end{pmatrix}$，其中$B = (b_{ij})_{r \times (n-r)}$，将$A$的第$i$列的$-b_{i,r+j}$依次加到第$r+j$列上去（$i = 1, 2, \cdots, r, j = 1, 2, \cdots, n-r$），就可将$B$化为$O$，即达到了最后的目的。

一个矩阵的等价标准型是唯一的，其中$r$是由矩阵$A$确定的，与所作的初等变换无关，它实际上就是矩阵$A$的秩。

由此，我们可以把矩阵集合$\mathbb{P}^{m \times n}$作一个划分，当$m= n$时，它一共有$n+1$个等价类。

上下节

• 上一节：初等矩阵
• 下一节：分块矩阵

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.