等價關係(equivalence relation)是集合上的一種二元關係,屬於集合論基礎研究內容。
定義及表示[]
設
是集合
上的一個二元關係,稱其為一個等價關係,如果它滿足以下條件:
- 自反性:

- 對稱性:

- 傳遞性:

等價關係的符號也可寫為
若
,稱
等價於
,記作
核(kernel)關係:對於映射
,稱
為映射
的核關係。它是等價關係,我們後面將會指出,等價關係可以被核關係確定。
集合
上所有等價關係的全體記作
等價類[]
設
是集合
上的一個等價關係,
中等價於元素
的所有元素組成的集合稱為
的等價類(equivalence class),記作
性質[]
設
是非空集合
上的一個等價關係,等價類具有下列性質:
且
;
,若
, 則
;
,若
, 則
;
,即
為
的所有等價類的無交並。
商集[]
設
是非空集合
上的一個等價關係,以
的所有等價類作為元素的集合稱為
關於
的商集(合)(quotient set),記作
。

例如:設

,如下定義

上的關係

:

則有如下等價類的關係:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{[1]=[4]=[7]}&=&\{1,4,7\}\\{[2]=[5]=[8]}&=&\{2,5,8\}\\{[3]=[6]}&=&\{3,6\}\end{array}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/4e8596def49a189323abf489ed569061555b3dbe)
所以商集為

劃分[]
集合
的子集族
若滿足:
- 不含空集,即
;
- 任意兩元素不相交;
- 所有元素的並等於
,
則稱
為
的劃分(partition),記作
,劃分中的每一個元素稱為塊(block)。
這個定義和等價類的性質第四條是相似的。
例如,設
,則以下的集合中只有
和
才是
的劃分。

等價關係與劃分一一對應定理
設

是集合

上的一個等價關係,則商集

就是

的一個劃分,並且不同的商集將對應於不同的劃分,反之,任給

的一個劃分

,如下定義

上的關係
,
與
在
的同一划分塊中
則

為

上的等價關係。
集合範疇[]
在集合範疇
中,設有集合
及其上的一個等價關係
,有投影映射
,則對任意的
,以及任意的集合映射
,必存在一映射
有

即下圖可換
等價關係的偏序[]
假設
是非空集合,
是其上等價關係之全體,按照關係作為集合的包含作為偏序形成的偏序集是完全格。
既然
是一個格,上面一定誘導了交並運算,它們分別是
- 交運算:
是同時含於兩個關係的最大關係集合。
- 並運算:
是同時包含兩個關係的最小關係集合。注意並不是簡單的
,這是因為後者不是一個關係。
對無限交運算是封閉的,即對一族
上的等價關係
有

因此它是
對偶閉包系統。但是對並不封閉,實際上,無限並運算按照上述規定,應為
