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等價關係(equivalence relation)是集合上的一種二元關係,屬於集合論基礎研究內容。

定義及表示[]

是集合上的一個二元關係,稱其為一個等價關係,如果它滿足以下條件:

  1. 自反性:
  2. 對稱性:
  3. 傳遞性:

等價關係的符號也可寫為

,稱等價於,記作

核(kernel)關係:對於映射,稱為映射的核關係。它是等價關係,我們後面將會指出,等價關係可以被核關係確定。

集合上所有等價關係的全體記作

等價類[]

是集合上的一個等價關係,中等價於元素的所有元素組成的集合稱為的等價類(equivalence class),記作

性質[]

是非空集合上的一個等價關係,等價類具有下列性質:

  1. ,若, 則
  2. ,若, 則
  3. ,即的所有等價類的無交並。

商集[]

是非空集合上的一個等價關係,以的所有等價類作為元素的集合稱為關於的商集(合)(quotient set),記作

例如:設,如下定義上的關係
則有如下等價類的關係:
所以商集為

劃分[]

集合的子集族若滿足:

  1. 不含空集,即
  2. 任意兩元素不相交;
  3. 所有元素的並等於

則稱的劃分(partition),記作,劃分中的每一個元素稱為塊(block)。

這個定義和等價類的性質第四條是相似的。

例如,設,則以下的集合中只有才是的劃分。

等價關係與劃分一一對應定理

是集合上的一個等價關係,則商集就是的一個劃分,並且不同的商集將對應於不同的劃分,反之,任給的一個劃分,如下定義上的關係
,的同一划分塊中
上的等價關係。

集合範疇[]

在集合範疇中,設有集合及其上的一個等價關係,有投影映射,則對任意的,以及任意的集合映射,必存在一映射

即下圖可換

Quotient set in category Set

等價關係的偏序[]

假設是非空集合,是其上等價關係之全體,按照關係作為集合的包含作為偏序形成的偏序集是完全格

既然是一個格,上面一定誘導了交並運算,它們分別是

  1. 交運算:是同時含於兩個關係的最大關係集合。
  2. 並運算:是同時包含兩個關係的最小關係集合。注意並不是簡單的,這是因為後者不是一個關係。

對無限交運算是封閉的,即對一族上的等價關係

因此它是對偶閉包系統。但是對並不封閉,實際上,無限並運算按照上述規定,應為

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