第二重要极限

第二重要极限是指以自然对数的底$\text{e}$的相关极限。

e 的定义

设有实数列$\{a_n\}_{n=1}^\infty = \left\{ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right\}_{n=1}^\infty$，它存在极限。其证明见自然对数的底，我们将该极限定义为数$\text{e}$，它是数列中第二重要极限的依据。

函数情形

定义一个一元实函数$f(x) = \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x$，它定义在$(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$上，可以使用 L' Hospital 法则证明： $$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = \text{e}.$$ 以正无穷极限为例： $$\begin{align} \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x & = \lim_{x \to +\infty} \exp \dfrac{\ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}} \\ & = \lim_{t \to 0^+} \exp \dfrac{\ln \left( 1 + t \right)}{t} \\ & = \exp \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{1+t} \\ & = \text{e}. \end{align}$$ 其中，$\exp x$表示指数函数$\text{e}^x.$

顺便指出$\lim_{x \to 0^+} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = 1, \lim_{x \to -1^-} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = +\infty.$我们还可以得到 $$\lim_{x \to 0} \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} = \text{e}.$$ 它们的函数图象分别如下图所示。

我们可以进一步研究函数$f(x) = \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^{x+\alpha}$的性质：当$\alpha \geqslant \dfrac{1}{2}$时函数在$(0, + \infty)$上单调递减；当$\alpha < \dfrac{1}{2}$时函数在$x$充分大时单调递增。

函数$g(x) = \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x}$在原点（用极限定义原点的函数值）的一邻域内的泰勒级数是 $$g(x) = \text{e} \left( 1 - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{11}{24}x^2 - \dfrac{7}{16}x^3 + \dfrac{2447}{5760}x^4 + \cdots \right).$$ 在某些复杂的求极限问题中可能会用到。

利用上式求极限

设函数$u(x), v(x)$在$(c, +\infty)$上连续，且$\lim_{x \to +\infty} u(x) = 1, \lim_{x \to +\infty} v(x) = \infty$，那么 $$\lim_{x \to +\infty} u(x)^{v(x)} = \exp \lim_{x \to +\infty} (u(x)-1)v(x)$$ 上式在右端的极限有意义时相等。可以类似写出$x\to\infty$和数列形式的公式以及条件，这里从略。

例如，我们考虑以下极限 $$\begin{align} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{4}{n^2} \right)^{2n+1} & = \exp \lim_{n \to \infty} (2n+1) \left(\dfrac{2}{n} + \dfrac{4}{n^2} \right) \\ & = \exp \lim_{n \to \infty} \dfrac{2(2n+1)(n+2)}{n^2} = \text{e}^4. \end{align}$$ 此处使用了指数函数的连续性，以及 Heine 定理（将函数极限和数列极限联系起来）。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.