第二类 Legendre 函数

第二类 Legendre 函数$Q_n(z)$是 Legendre 方程 $$(1-z^2) w'' - 2zw' + n(n+1) w = 0$$ 的第二解，另一解为多项式解 Legendre 多项式$P_n(z).$

级数推导

有关系 $$Q_n(z) = P_n(z) \int_z^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}t}{(t^2-1) P^2_n(t)}, \quad |z| > 1.$$ 这一关系并不容易求出$Q_n(z)$的展开式，可以使用待定系数法确定 $$Q_n(z) = \dfrac{2^n(n!)^2}{(2n+1)!} \dfrac{1}{z^{n+1}} \left( 1+\sum_{k=1}^\infty \dfrac{a_k}{z^{2k}} \right).$$ 展开$P_n(z)$并使用上式对比系数得到 $$a_k = \dfrac{(n+2k-1) (n+2k)}{2k \cdot (2n+2k+1)} a_{k-1} = \dfrac{\left( \frac{n+1}{2} \right)_k \left( \frac{n+2}{2} \right)_k}{k! \left( \frac{2n+3}{2} \right)_k}.$$ 于是 $$Q_n (z) = \dfrac{2^n(n!)^2}{(2n+1)!} \dfrac{1}{z^{n+1}} F\!\!\left( \dfrac{n+1}{2}, \dfrac{n+2}{2}, \dfrac{2n+3}{2}, \dfrac{1}{z^2} \right).$$ 右侧的函数是超几何函数。

Neumann 表示

如下的表示方式称为 Neumann 表示： $$Q_n (z) = \dfrac{1}{2} \int_{-1}^1 \dfrac{P_n(t)}{z-t} \mathrm{d}t.$$ 或者 $$Q_n (z) = \dfrac{1}{2^{n+1}} \int_{-1}^1 (1-t^2)^n (z-t)^{-n-1} \mathrm{d}t.$$ 由此可以证明 $$\begin{align} Q_0(z) & = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{z+1}{z-1}, \\ Q_n(z) & = \dfrac{1}{2} P_n(z) - W_{n-1}(z), \quad n > 0. \end{align}$$ 其中对数函数在$|z| > 1$时取实数值，且

$$W_{n-1} (z) = \dfrac{(2n)!}{2^n(n!)^2} \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n-1}{2} \right]} \left[ \dfrac{1}{2k+1} + \sum_{s=1}^k \dfrac{(-1)^s}{2k-2s+1} \dfrac{n(n-1)\cdots(n-2s+1)}{2^s s! (2n-1)(2n-3)(2n-2s+1)} \right] x^{n-2k+1}.$$

当$|z| < 1$时一般取 $$Q_n(z) = \dfrac{1}{2} P_n(z) \ln \dfrac{1+z}{1-z} - W_{n-1} (z).$$ 这样规定的解在$|z| < 1$的范围中满足 Legendre 方程的第二解的条件。

递推公式

仿照 Legendre 多项式的递推公式，第二类 Legendre 函数也有如下递推公式： $$\begin{cases} Q_1(z) = z Q_0(z) - 1, \\ Q_n(z) = \dfrac{2n-1}{n} z Q_{n-1} (z) - \dfrac{n-1}{n} Q_{n-2} (z), \quad n > 1, \end{cases}$$ 以及导数关系： $$\begin{align} Q'_{n+1} (z) & = z Q_n (z) + (n+1) Q_n (z), \\ Q'_{n+1} (z) - Q'_{n-1} (z) & = (2n+1) Q_n(z), \\ (z^2 - 1) Q'_n (z) & = nz Q_n (z) - n Q_{n-1} (z). \end{align}$$

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.