第二類 Chebyshev 多項式

第二類 Chebyshev 多項式是多項式空間在$[-1, 1]$上的某種帶權正交多項式，此外還有第一類 Chebyshev 多項式。

遞歸定義

第二類的多項式是通過正弦函數來定義的。稱在$[-1, 1]$有定義的如下函數列$\{ U_n \}_{n=0}$為第二類 Chebyshev 函數。 $$U_n (x) = \dfrac{\sin [(n+1) \arccos x]}{\sqrt{1-x^2}}, \quad n \in \N^+.$$ 由此確定的多項式稱為第二類 Chebyshev 多項式。顯然有 $$U_n (\cos \theta) = \dfrac{\sin(n+1)\theta}{\sin \theta}, \quad \theta \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right], n \in \N^+.$$ 在零處用極限定義$U_n (1) = n+1.$因此由正弦函數的和差化積公式有如下遞推公式 $$U_n (x) = 2x U_{n-1} (x) - U_{n-2} (x), \quad n = 2, 3, \cdots.$$ 且初始迭代 $$U_0 (x) = 1, \quad U_1 (x) = 2x.$$ 由此可知，兩類多項式的遞推公式是一樣的，只是初始條件不同而已。

具體表達式

$$\begin{align} U_n (x) &= \dfrac{(n+1)! (-1)^n 2^n}{(2n+1)! \sqrt{1-x^2}} \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (1-x^2)^{n+\frac{1}{2}} \\ &= \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \dfrac{(-1)^k (n-k)!}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}. \end{align}$$

性質

1. $U_n$的最高項係數為$2^n.$
2. $U_n$當$n$為奇數時多項式只有奇數項；當$n$為偶數時多項式只有偶數項。
3. $U_n$在$[-1, 1]$上有$n$個實根$\cos \dfrac{k\pi}{n+1}, k = 1,2\cdots,n, n > 0.$
4. $\{ U_n \}$是內積$\int_{-1}^1 U_m(x) U_n (x) \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x$的正交基函數（正交基底），即有$$\int_{-1}^1 U_m(x) U_n (x) \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \ne n, \\ \dfrac{\pi}{2}, & m = n. \end{cases}$$因此$\left\{ \dfrac{2}{\pi} U_n \right\}$還是標準正交基。
5. 兩類多項式之間的相互遞推關係$$\begin{align} T_n (x) & = U_n(x) - x U_{n-1} (x), \\ U_n (x) & = \dfrac{T_n (x) - x T_{n+1} (x)}{1-x^2} = \dfrac{1-2x^2}{1-x^2} T_n(x) + \dfrac{x}{1-x^2} T_{n-1}(x). \end{align}$$由此可知$1-x^2$也是$T_n (x) - x T_{n+1} (x)$的因子。
6. $U_n$的母函數是$$\sum_{n=0}^\infty U_n (x) s^n = \dfrac{1}{1-2sx+s^2}.$$

參考資料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.