第二类 Chebyshev 多项式

第二类 Chebyshev 多项式是多项式空间在$[-1, 1]$上的某种带权正交多项式，此外还有第一类 Chebyshev 多项式。

递归定义

第二类的多项式是通过正弦函数来定义的。称在$[-1, 1]$有定义的如下函数列$\{ U_n \}_{n=0}$为第二类 Chebyshev 函数。 $$U_n (x) = \dfrac{\sin [(n+1) \arccos x]}{\sqrt{1-x^2}}, \quad n \in \N^+.$$ 由此确定的多项式称为第二类 Chebyshev 多项式。显然有 $$U_n (\cos \theta) = \dfrac{\sin(n+1)\theta}{\sin \theta}, \quad \theta \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right], n \in \N^+.$$ 在零处用极限定义$U_n (1) = n+1.$因此由正弦函数的和差化积公式有如下递推公式 $$U_n (x) = 2x U_{n-1} (x) - U_{n-2} (x), \quad n = 2, 3, \cdots.$$ 且初始迭代 $$U_0 (x) = 1, \quad U_1 (x) = 2x.$$ 由此可知，两类多项式的递推公式是一样的，只是初始条件不同而已。

具体表达式

$$\begin{align} U_n (x) &= \dfrac{(n+1)! (-1)^n 2^n}{(2n+1)! \sqrt{1-x^2}} \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (1-x^2)^{n+\frac{1}{2}} \\ &= \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \dfrac{(-1)^k (n-k)!}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}. \end{align}$$

性质

1. $U_n$的最高项系数为$2^n.$
2. $U_n$当$n$为奇数时多项式只有奇数项；当$n$为偶数时多项式只有偶数项。
3. $U_n$在$[-1, 1]$上有$n$个实根$\cos \dfrac{k\pi}{n+1}, k = 1,2\cdots,n, n > 0.$
4. $\{ U_n \}$是内积$\int_{-1}^1 U_m(x) U_n (x) \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x$的正交基函数（正交基底），即有$$\int_{-1}^1 U_m(x) U_n (x) \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \ne n, \\ \dfrac{\pi}{2}, & m = n. \end{cases}$$因此$\left\{ \dfrac{2}{\pi} U_n \right\}$还是标准正交基。
5. 两类多项式之间的相互递推关系$$\begin{align} T_n (x) & = U_n(x) - x U_{n-1} (x), \\ U_n (x) & = \dfrac{T_n (x) - x T_{n+1} (x)}{1-x^2} = \dfrac{1-2x^2}{1-x^2} T_n(x) + \dfrac{x}{1-x^2} T_{n-1}(x). \end{align}$$由此可知$1-x^2$也是$T_n (x) - x T_{n+1} (x)$的因子。
6. $U_n$的母函数是$$\sum_{n=0}^\infty U_n (x) s^n = \dfrac{1}{1-2sx+s^2}.$$

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.