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第二类 Chebyshev 多项式是多项式空间在上的某种带权正交多项式,此外还有第一类 Chebyshev 多项式

递归定义[]

第二类的多项式是通过正弦函数来定义的。称在有定义的如下函数列为第二类 Chebyshev 函数。

由此确定的多项式称为第二类 Chebyshev 多项式。显然有
在零处用极限定义因此由正弦函数的和差化积公式有如下递推公式
且初始迭代
由此可知,两类多项式的递推公式是一样的,只是初始条件不同而已。

具体表达式[]

性质[]

  1. 的最高项系数为
  2. 为奇数时多项式只有奇数项;当为偶数时多项式只有偶数项。
  3. 上有个实根
  4. 内积的正交基函数(正交基底),即有
    因此还是标准正交基。
  5. 两类多项式之间的相互递推关系
    由此可知也是的因子。
  6. 母函数

参考资料

  1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.
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