第二类 Chebyshev 多项式是多项式空间在
上的某种带权正交多项式,此外还有第一类 Chebyshev 多项式。
递归定义[]
第二类的多项式是通过正弦函数来定义的。称在
有定义的如下函数列
为第二类 Chebyshev 函数。
![{\displaystyle U_{n}(x)={\dfrac {\sin[(n+1)\arccos x]}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad n\in \mathbb {N} ^{+}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9a85bb8a51c7a65b19954cd6ec558203c9c924a7)
由此确定的多项式称为第二类 Chebyshev 多项式。显然有
![{\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\dfrac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }},\quad \theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right],n\in \mathbb {N} ^{+}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/609cc9c341644dfc4e0e15dfbcb6e0ea0065e981)
在零处用极限定义

因此由正弦函数的和差化积公式有如下递推公式

且初始迭代

由此可知,两类多项式的递推公式是一样的,只是初始条件不同而已。
具体表达式[]
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\dfrac {(n+1)!(-1)^{n}2^{n}}{(2n+1)!{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\dfrac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(1-x^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\dfrac {(-1)^{k}(n-k)!}{k!(n-2k)!}}(2x)^{n-2k}.\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9e03bffa6844c45aa6c491f9790d570303cc08c0)
性质[]
的最高项系数为
当
为奇数时多项式只有奇数项;当
为偶数时多项式只有偶数项。
在
上有
个实根
是内积
的正交基函数(正交基底),即有
因此
还是标准正交基。
- 两类多项式之间的相互递推关系

由此可知
也是
的因子。
的母函数是
参考资料