第二类 Bessel 函数

第二类 Bessel 函数是整数阶 Bessel 方程的一种解，另一个和它线性无关的解是第一类 Bessel 函数，Bessel 方程是指如下关于复变函数$y = y(z)$的二阶线性常微分方程： $$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}z^2} + \dfrac{1}{z} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z} + \left( 1 - \dfrac{\nu^2}{z^2} \right) y = 0$$ 其中，复常数$\nu$称为方程的阶数或解的阶数。这种类型的方程在解二维波方程的边值问题时遇到。该方程有两个奇点，$0, \infty$分别是正则和非正则的奇点。

定义

当$\nu = n$是整数时，原方程在原点处的第一类 Bessel 函数$J_{+n}(z), J_{-n}(z)$只相差一个常数因子$(-1)^n$，方程的另一个解是如下第二类 Bessel 函数： $$Y_n(z) = \dfrac{\cos n\pi J_n(z) - J_{-n}(z)}{\sin n\pi} \quad (*)$$ 这个记号由 Weber 给出，此外还有记号$N_n(z)$，由 Neumann 给出，故又称 Neumann 函数。

$\lim_{\nu \to n} Y_\nu(z)$存在且满足$n$阶 Bessel 方程。

将$J_{\pm n}(z)$的级数展开代入$(*)$式便得到第二类 Bessel 函数的级数展开 $$\begin{align} Y_n(z) &= \dfrac{2}{\pi} J_n(z) \ln \frac{z}{2} - \dfrac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(n-k-1)!}{k!} \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k-n} \\ & \quad ~ - \dfrac{1}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!(n+k)!} \left( \psi(n+k+1) + \psi(k+1) \right) \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+n} \end{align}$$ 其中$\psi(x) = \dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$是对数 Γ 函数。

性质

1. 递推关系：$$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z^\nu Y_\nu(z)) &= z^\nu Y_{\nu-1}, \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z^{-\nu} Y_{-\nu}(z)) &= -z^{-\nu} Y_{\nu+1}. \end{align}$$
2. 基本递推关系：$$\begin{align} Y_{\nu-1} + Y_{\nu+1} &= 2\nu z^{-1} Y_{\nu}, \\ Y_{\nu-1} - Y_{\nu+1} & = 2Y'_\nu. \end{align}$$
3. 旋转公式：$$\begin{align} Y_\nu(z \text{e}^{m\pi\text{i}}) & = \text{e}^{-m\nu\pi\text{i}} Y_\nu(z) + 2 \text{i} \sin m \nu \pi \cot \nu \pi J_\nu(z), \\ Y_{-\nu}(z \text{e}^{m\pi\text{i}}) & = \text{e}^{-m\nu\pi\text{i}} Y_{-\nu}(z) + 2 \text{i} \sin m \nu \pi \csc \nu \pi J_\nu(z) \end{align}$$

柱函数

满足如下两个递推关系的函数$Z_\nu(z)$ $$\begin{align} Z_{\nu-1} + Z_{\nu+1} &= 2\nu z^{-1} Z_{\nu}, \\ Z_{\nu-1} - Z_{\nu+1} & = 2Z'_\nu. \end{align}$$ 称为柱函数。第一类 Bessel 函数$J_\nu(z)$以及上面定义的第二类 Besel 函数$Y_n(z)$都是柱函数。可以证明柱函数必然是 Bessel 方程的解。

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.