第二類 Bessel 函數

第二類 Bessel 函數是整數階 Bessel 方程的一種解，另一個和它線性無關的解是第一類 Bessel 函數，Bessel 方程是指如下關於複變函數$y = y(z)$的二階線性常微分方程： $$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}z^2} + \dfrac{1}{z} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z} + \left( 1 - \dfrac{\nu^2}{z^2} \right) y = 0$$ 其中，復常數$\nu$稱為方程的階數或解的階數。這種類型的方程在解二維波方程的邊值問題時遇到。該方程有兩個奇點，$0, \infty$分別是正則和非正則的奇點。

定義

當$\nu = n$是整數時，原方程在原點處的第一類 Bessel 函數$J_{+n}(z), J_{-n}(z)$只相差一個常數因子$(-1)^n$，方程的另一個解是如下第二類 Bessel 函數： $$Y_n(z) = \dfrac{\cos n\pi J_n(z) - J_{-n}(z)}{\sin n\pi} \quad (*)$$ 這個記號由 Weber 給出，此外還有記號$N_n(z)$，由 Neumann 給出，故又稱 Neumann 函數。

$\lim_{\nu \to n} Y_\nu(z)$存在且滿足$n$階 Bessel 方程。

將$J_{\pm n}(z)$的級數展開代入$(*)$式便得到第二類 Bessel 函數的級數展開 $$\begin{align} Y_n(z) &= \dfrac{2}{\pi} J_n(z) \ln \frac{z}{2} - \dfrac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(n-k-1)!}{k!} \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k-n} \\ & \quad ~ - \dfrac{1}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!(n+k)!} \left( \psi(n+k+1) + \psi(k+1) \right) \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+n} \end{align}$$ 其中$\psi(x) = \dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$是對數 Γ 函數。

性質

1. 遞推關係：$$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z^\nu Y_\nu(z)) &= z^\nu Y_{\nu-1}, \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z^{-\nu} Y_{-\nu}(z)) &= -z^{-\nu} Y_{\nu+1}. \end{align}$$
2. 基本遞推關係：$$\begin{align} Y_{\nu-1} + Y_{\nu+1} &= 2\nu z^{-1} Y_{\nu}, \\ Y_{\nu-1} - Y_{\nu+1} & = 2Y'_\nu. \end{align}$$
3. 旋轉公式：$$\begin{align} Y_\nu(z \text{e}^{m\pi\text{i}}) & = \text{e}^{-m\nu\pi\text{i}} Y_\nu(z) + 2 \text{i} \sin m \nu \pi \cot \nu \pi J_\nu(z), \\ Y_{-\nu}(z \text{e}^{m\pi\text{i}}) & = \text{e}^{-m\nu\pi\text{i}} Y_{-\nu}(z) + 2 \text{i} \sin m \nu \pi \csc \nu \pi J_\nu(z) \end{align}$$

柱函數

滿足如下兩個遞推關係的函數$Z_\nu(z)$ $$\begin{align} Z_{\nu-1} + Z_{\nu+1} &= 2\nu z^{-1} Z_{\nu}, \\ Z_{\nu-1} - Z_{\nu+1} & = 2Z'_\nu. \end{align}$$ 稱為柱函數。第一類 Bessel 函數$J_\nu(z)$以及上面定義的第二類 Besel 函數$Y_n(z)$都是柱函數。可以證明柱函數必然是 Bessel 方程的解。

參考資料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.