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第二类 Bessel 函数是整数阶 Bessel 方程的一种解,另一个和它线性无关的解是第一类 Bessel 函数,Bessel 方程是指如下关于复变函数二阶线性常微分方程

其中,复常数称为方程的阶数或解的阶数。这种类型的方程在解二维波方程的边值问题时遇到。该方程有两个奇点,分别是正则和非正则的奇点。

定义[]

整数时,原方程在原点处的第一类 Bessel 函数只相差一个常数因子,方程的另一个解是如下第二类 Bessel 函数:

这个记号由 Weber 给出,此外还有记号,由 Neumann 给出,故又称 Neumann 函数。

存在且满足阶 Bessel 方程。

的级数展开代入式便得到第二类 Bessel 函数的级数展开

其中对数 Γ 函数

性质[]

  1. 递推关系:
  2. 基本递推关系:
  3. 旋转公式:

柱函数[]

满足如下两个递推关系的函数

称为柱函数。第一类 Bessel 函数以及上面定义的第二类 Besel 函数都是柱函数。可以证明柱函数必然是 Bessel 方程的解。

参考资料

  1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.
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