第二类 Bessel 函数是整数阶 Bessel 方程的一种解,另一个和它线性无关的解是第一类 Bessel 函数,Bessel 方程是指如下关于复变函数
的二阶线性常微分方程:

其中,复常数

称为方程的阶数或解的阶数。这种类型的方程在解二维
波方程的边值问题时遇到。该方程有两个奇点,

分别是正则和非正则的奇点。
定义[]
当
是整数时,原方程在原点处的第一类 Bessel 函数
只相差一个常数因子
,方程的另一个解是如下第二类 Bessel 函数:

这个记号由 Weber 给出,此外还有记号

,由 Neumann 给出,故又称 Neumann 函数。
存在且满足
阶 Bessel 方程。
将
的级数展开代入
式便得到第二类 Bessel 函数的级数展开

其中

是
对数 Γ 函数。
性质[]
- 递推关系:

- 基本递推关系:

- 旋转公式:

柱函数[]
满足如下两个递推关系的函数

称为
柱函数。第一类 Bessel 函数

以及上面定义的第二类 Besel 函数

都是柱函数。可以证明柱函数必然是 Bessel 方程的解。
参考资料