第二型曲面积分是积分区域是一张曲面,被积函数是向量值函数的一种多元积分,一般情况下我们最多讨论三维空间中的第二型曲面积分。在物理中,流量问题就是第二型曲面积分的应用。
概念[]
设三维空间中有逐块光滑的有向双侧曲面
,规定详见曲面的方向。又设有定义在该曲面上的有界向量值函数
将
分为若干小块
在
中任取一点
,记
(所有分割部分的弧段弦长的最大值,也叫分割的模),又
,其中
是曲面
在点
处的单位法向量。作下述和式

如果上述和式在

时极限存在,且与分割方式和点列选取无关,则将其记作下述积分

此称为函数

在曲面

上的第二型曲面积分。其中,

是有向面积微元,它的方向由曲面的侧决定。
表示[]
当函数
有表示式

时,注意到

也将上述曲线积分记作

注意,形如
的积分也是第二型曲线积分,它的
。
计算[]
如果曲面
分别可以解出显式
,那么有

正负号的选取原则是:若曲面

的方向为上右前则为正号,下左后则为负号。这样就把第二型曲面积分化为了
二重积分。
若曲面
有参数表示

它的
Jacobi 矩阵

那么上述积分可以表示为

它的正负号选取原则:当曲面

的方向和

同向时取正号,反向时取负号。
与第一型曲面积分的关系[]
第一型曲面积分和第二型曲面积分之间的联系:

特别地,如果记单位法向量的各个方向角为

。这时,

上下节[]
参考资料