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第二型曲面积分是积分区域是一张曲面,被积函数是向量值函数的一种多元积分,一般情况下我们最多讨论三维空间中的第二型曲面积分。在物理中,流量问题就是第二型曲面积分的应用。

概念[]

设三维空间中有逐块光滑的有向双侧曲面,规定详见曲面的方向。又设有定义在该曲面上的有界向量值函数

分为若干小块中任取一点,记(所有分割部分的弧段弦长的最大值,也叫分割的模),又,其中是曲面在点处的单位法向量。作下述和式

如果上述和式在时极限存在,且与分割方式和点列选取无关,则将其记作下述积分
此称为函数在曲面上的第二型曲面积分。其中,是有向面积微元,它的方向由曲面的侧决定。

表示[]

当函数有表示式

时,注意到
也将上述曲线积分记作

注意,形如的积分也是第二型曲线积分,它的

计算[]

如果曲面分别可以解出显式,那么有

正负号的选取原则是:若曲面的方向为上右前则为正号,下左后则为负号。这样就把第二型曲面积分化为了二重积分

若曲面参数表示

它的 Jacobi 矩阵
那么上述积分可以表示为
它的正负号选取原则:当曲面的方向和同向时取正号,反向时取负号。

与第一型曲面积分的关系[]

第一型曲面积分和第二型曲面积分之间的联系:

特别地,如果记单位法向量的各个方向角为。这时,

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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