第二型曲线积分

第二型曲线积分是积分区域是一条曲线，被积函数是向量值函数的一种多元积分，一般情况下我们最多讨论三维空间中的第二型曲线积分。在物理中，变力作功问题就是第二型曲线积分的应用。

概念

设三维空间中从$A$到$B$的有逐段光滑的有向曲线$\boldsymbol{l}$，它的逐点方向规定为其上一点的切线方向$\boldsymbol{\tau}$，它是曲线上点的函数，曲线的方向为起点$A$指向终点$B$。又设有定义在该曲线上的有界向量值函数$\boldsymbol{F}$。

插入适当的分点将$\boldsymbol{l}$分为若干部分 $$\boldsymbol{l} = AP_1 + P_1P_2 + \cdots + P_{n-1}B$$ 其中，$A = P_0, B = P_n$是曲线的起点和终点，$P_{i-1} P_i, i = 1,2,\cdots,n$是弧段，设$P_i(x_i, y_i, z_i)$，记$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |P_{i-1}P_i|$（所有分割部分的弧段弦长的最大值，也叫分割的模），记$\Delta \boldsymbol{\tau_i} = \Delta x_i \boldsymbol{i} + \Delta y_i \boldsymbol{j} + \Delta z_i \boldsymbol{k}.$在弧段$P_{i-1} P_i$中任取一点$M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$，作下述和式 $$\sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \cdot \Delta \boldsymbol{\tau_i}$$ 上述和式在$||\Delta|| \to 0$时极限为下述积分 $$\int_\boldsymbol{l} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \cdot \Delta \boldsymbol{\tau_i}.$$

其中，$\mathrm{d}\boldsymbol{\tau}$是有向弧长微元，$\mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \mathrm{d}x \boldsymbol{i} + \mathrm{d}y \boldsymbol{j} + \mathrm{d}z \boldsymbol{k}.$

表示

当函数$\boldsymbol{F}$有表示式 $$\boldsymbol{F}(x, y, z) = P(x, y, z) \boldsymbol{i} + Q(x, y, z) \boldsymbol{j} + R(x, y, z) \boldsymbol{k}$$ 时，也将上述曲线积分记作 $$\int_\boldsymbol{l} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \int_\boldsymbol{l} P(x, y, z) \mathrm{d}x + Q(x, y, z) \mathrm{d}y + R(x, y, z) \mathrm{d}z.$$

注意，$\int_\boldsymbol{l} P(x, y, z) \mathrm{d}x + Q(x, y, z) \mathrm{d}y$也是第二型曲线积分，它的$R(x, y, z) = 0$，自然$\int_\boldsymbol{l} P(x, y, z) \mathrm{d}x$也都是特例。

在平面上，当函数$\boldsymbol{F}$有表示式 $$\boldsymbol{F}(x, y) = P(x, y) \boldsymbol{i} + Q(x, y) \boldsymbol{j}$$ 时，也将上述曲线积分记作 $$\int_\boldsymbol{l} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \int_\boldsymbol{l} P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y.$$ 平面的积分是空间中的特例，积分计算公式可以仿照进行。

计算

如果曲线$\boldsymbol{l}$有参数表示$x(t)\boldsymbol{i} + y(t)\boldsymbol{j} + z(t)\boldsymbol{k}, t \in [\alpha, \beta].$那么上述积分可以表示为 $$\begin{align} \quad ~ & \int_\boldsymbol{l} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \int_\boldsymbol{l} P(x, y, z) \mathrm{d}x + Q(x, y, z) \mathrm{d}y + R(x, y, z) \mathrm{d}z\\ & = \int_\alpha^\beta [ P(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t), y(t), z(t)) z'(t) ] \mathrm{d}t.\end{align}$$ 特别地，如果曲线$\boldsymbol{l} = x\boldsymbol{i} + y(x)\boldsymbol{j} + z(x)\boldsymbol{k}, x \in [\alpha, \beta].$那么上述积分可以表示为 $$\begin{align} \quad ~ & \int_\boldsymbol{l} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \int_\boldsymbol{l} P(x, y, z) \mathrm{d}x + Q(x, y, z) \mathrm{d}y + R(x, y, z) \mathrm{d}z \\ & = \int_\alpha^\beta [ P(x, y(x), z(x)) + Q(x, y(x), z(x)) y'(x) + R(x, y(x), z(x)) z'(x) ] \mathrm{d}x.\end{align}$$ 这样就把第二型曲线积分化为了一元定积分。

与第一型曲线积分的关系

设三维空间中的逐段光滑有向曲线$\boldsymbol{l}$的弧长参数是$s$，则该曲线有参数表示 $\boldsymbol{l} = x(s)\boldsymbol{i} + y(s)\boldsymbol{j} + z(s)\boldsymbol{k}, s \in [0, l]$ 设曲线的逐点方向为$\boldsymbol{\tau}$，它是曲线上点的函数，也就是$s$的函数，这样有下列公式 $$\begin{align} \quad ~ & \int_\boldsymbol{l} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \int_\boldsymbol{l} P(x, y, z) \mathrm{d}x + Q(x, y, z) \mathrm{d}y + R(x, y, z) \mathrm{d}z \\ & = \int_l [ P(x, y, z) \cos\alpha + Q(x, y, z) \cos\beta + R(x, y, z) \cos\gamma] \mathrm{d}s.\end{align}$$ 其中，$\alpha, \beta, \gamma$分别是切线$\boldsymbol{\tau}$的方向角，即与$x, y, z$坐标轴正向的夹角。

在平面上，记$\alpha$是切线$\boldsymbol{\tau}$的方向角，即与$x$坐标轴正向的夹角。则有 $${\begin{aligned}\int _{\boldsymbol {l}}{\boldsymbol {F}}(x,y)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}&=\int _{\boldsymbol {l}}P(x,y)\mathrm {d} x+Q(x,y)\mathrm {d} y\\&=\int _{l}[P(x,y)\cos \alpha +Q(x,y)\sin \alpha ]\mathrm {d} s.\end{aligned}}$$ 这里第二项能够写成夹角的正弦是因为$\alpha -\beta =\pi /2.$

上下节

• 上一节：第一型曲线积分
• 下一节：曲面的面积

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.