第二可数空间

在点集拓扑理论中，第二可数空间（second countable space）是一类定义了某种可数公理的拓扑空间，常常称为$C_2$空间。

定义

如果一个拓扑空间$X$有可数的拓扑基，我们就称它是第二可数空间，或称完全可分空间，也称$C_2$空间或$A_2$空间。 注意：

1. 第二可数空间是第一可数空间，反之未必。
2. 第二可数空间是可分空间，反之未必。
3. $C_2$条件要求很强，甚至一些度量空间都可以不是第二可数的，可分的度量空间是第二可数的。
4. 第二可数空间是 Lindelof 空间，反之未必。

Lindelof 定理

满足$T_3$公理的第二可数空间满足$T_4$公理，这些分离公理详见拓扑可分公理。

其它性质

1. 假设$X$是第二可数的且$f: X \to Y$是连续映射，那么$f(X)$也是第二可数的。
2. 第二可数空间的子空间也是第二可数的。
3. 第二可数空间的乘积空间是第二可数的。
4. $X$是第二可数的当且仅当它有一个可数拓扑子基。
5. 第二可数空间的每个拓扑基中都包含着这个空间的一个可数基。
6. 第二可数空间中每一个由两两无交的开集构成的子集族都是可数的集族。

Urysohn 度量化定理

如果一个拓扑空间满足$T_1, T_4, C_2$公理，那么它是可度量化的且可以嵌入到 Hilbert 空间中去。

根据 Lindelof 定理，对$T_4$的要求可以减弱为$T_3$。上述条件并不是充分必要的，但它是可以嵌入 Hilbert 空间的充分必要条件。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.