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第一型曲面积分是积分区域曲面、被积函数是标量函数的一种多元积分,物理中的电荷面密度分布不均匀的曲面的电荷量就是第一型曲面积分的一个例子。

概念[]

设有一个三维空间中可度量的有界连续(或逐段光滑)曲面,在其上定义了一个连续的多元函数将平面区域划分为个小块,在每个小块上,记相应的曲面块是(这是说,曲面块平面上的投影恰好是)。

选定中的一点,用这一点的函数值作为函数在该曲面块上的近似取值,曲面面积是。在这一小块上近似认为(均匀分布)

为平面块的直径的最大值,也叫分割的模,对项近似的求和,取极限,得到
上式就是黎曼和,将它表示为积分形式,就是
其中,称作面积微元。上式就是一个第一型曲面积分。

计算[]

在空间直角坐标系中,设曲面有函数表示式,那么

(参看:曲面的面积),于是
将它表示为积分形式,就是
这样,就把曲面积分化为了二重积分

变量代换[]

设无重点的简单可求面积曲面有参数表示

其中为平面有界区域。

它的 Jacobi 矩阵

的秩是2,那么
上式依旧是一个二重积分。

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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