第一型曲线积分

第一型曲线积分是多元积分的一种，他的物理背景是质量分布不均匀的曲线棒的质量。

概念

设有一条可求长曲线$l \in \R^m$，在其上定义了一个多元函数$f(M), \forall M \in l.$插入适当的分点将$l$分为若干部分 $$l = AP_1 + P_1P_2 + \cdots + P_{n-1}B$$ 其中，$A = P_0, B = P_n$是曲线的起点和终点，$P_{i-1} P_i, i = 1,2,\cdots,n$是弧段，记$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |P_{i-1}P_i|$（所有分割部分的弧段弦长的最大值，也叫分割的模），$\Delta s_i = |P_{i-1}P_i|$在弧段$P_{i-1} P_i$中任取一点$M_i$，作下述和式 $$\sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta s_i$$ 如果$l$是逐段光滑曲线，那么上述和式在$||\Delta|| \to 0$时极限为下述积分 $$\int_l f(M) \mathrm{d}s = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta s_i.$$

其中，$\mathrm{d}s$是弧长微元，如果曲线$l$有参数表示$(x_1(t), x_2(t), \cdots, x_m(t)), t \in [\alpha, \beta].$其中$f_i(t)$是一元实函数，那么上述积分可以表示为 $$\int_l f(x_1, x_2, \cdots, x_m) \mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(x_1(t), x_2(t), \cdots, x_m(t)) \sqrt{{x_1'}^2(t) + {x_2'}^2(t) + \cdots + {x_m'}^2(t)} \mathrm{d}t.$$ 上述积分对方向没有要求，这不意味着积分没有方向，实际上从$A$到$B$的过程相应的弧长微元是$\mathrm{d}s$时，从$B$到$A$的过程相应的弧长微元则是$-\mathrm{d}s.$

特例

若$l$是三维空间中的逐段光滑曲线$(x(t), y(t), z(t)), t \in [\alpha, \beta]$，函数$f(x,y,z)$连续。那么 $$\int_l f(x, y, z) \mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t) + {z'}^2(t)} \mathrm{d}t.$$ 若$l$是平面上的逐段光滑曲线$y = \varphi(x), x \in [\alpha, \beta]$，函数$f(x, y)$连续。那么 $$\int_l f(x, y) \mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(x, \varphi(x)) \sqrt{1 + {\varphi'}^2(x)} \mathrm{d}x.$$ 特别地，当$f(M) = 1$时，第一型曲线积分就可以表示曲线弧长$l = \int_l \mathrm{d}s$。

上下节

• 上一节：矩（物理）
• 下一节：第二型曲线积分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.