第一可数空间

在点集拓扑理论中，第一可数空间（first countable space）是一类定义了某种可数公理的拓扑空间，常常称为$C_1$空间。

定义

定义第一可数空间必须先定义邻域基的概念。

邻域基

假设有拓扑空间$X$，$x \in X$的所有邻域的集合称为$x$的邻域系，记作$\mathcal{N}(x)$，$\mathcal{N}(x)$的一个子集$\mathcal{U}(x)$称为$x$的一个邻域基（neighborhood basis），如果满足：$x$的每个邻域至少包含$\mathcal{U}(x)$中的一个成员。

如果$\mathcal{B}$是$X$的拓扑基，那么$\mathcal{U}(x) = \{ B \in \mathcal{B}: x \in B \}$是$x$的一个邻域基。

第一可数空间

如果拓扑空间$X$中任意一点都有可数的邻域基，我们就称这个空间为第一可数空间，或称$C_1$空间、$A_1$空间。例如，度量空间是第一可数空间。

嵌套邻域基引理

如果$X$在$x$处有可数的邻域基，则存在半单调的邻域基：即存在这样的$\{ V_n \}$，当$m>n$时$V_m \subset V_n.$进一步，$X$在$x$处存在嵌套的邻域基：$U_{i+1} \subset U_i$对每个$i\in\N$，且$x$的每一个邻域包含某些$U_i.$

这个命题称为嵌套邻域基引理（nested neighborhood basis lemma）。

序列引理

假设$X$是第一可数空间，$A \subset X, x \in X,$

1. $x \in \overline{A}$当且仅当$A$中存在收敛到$x$的序列。
2. $x \in \text{Int}(A)$当且仅当$X$中每个收敛到$x$的序列可以全在$A$中。
3. $A$是$X$中的闭集当且仅当$A$中含有每一个$A$中收敛的序列的极限点。
4. $A$是$X$中的开集当且仅当每个收敛到$A$中点的$X$中的序列可以全在$A$中。

这里的表述：可以全在$A$中的意思是，不在$A$中的点是有限多个。上述引理称为序列引理（sequence lemma）。

其它性质

1. 假设$X$是第一可数的且$f: X \to Y$是连续映射，那么$f(X)$也是第一可数的。
2. 第一可数空间的子空间是第一可数的。
3. 第一可数空间的乘积空间是第一可数的。

连续映射

$C_1$空间中的一个重要特性是对连续映射的序列语言有刻画： 在度量空间中描述映射的连续性有对应的$\varepsilon-\delta$语言，它和开集原象是开集是等价的，但是在一般的拓扑空间中不存在这样的序列语言。

假设$X, Y$是拓扑空间，$f: X \to Y$是连续的，且$p_n \to p \in X$那么$f(p_n) \to f(p) \in Y.$

注意反之不真，但是如果$X$是第一可数的，那么有：如果$f: X \to Y$满足

$$p_n \to p \in X \Longrightarrow f(p_n) \to f(p) \in Y.$$

那么$f$是连续的。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.