符號測度

符號測度或稱廣義測度，是測度空間中不定積分概念之推廣，因此可以來描述測度的導數相關的概念。它相較於測度而言僅僅少了非負性。符號測度在一定程度上可以藉助測度進行分解，即 Hahn-Jordan 分解，此外關於符號測度還有測度論中最核心最重要的定理——Radon-Nikodym 定理。

定義

假設有可測空間$(X, \mathcal{F})$，我們稱滿足如下條件的集函數（函數值域是廣義實數，即可以取正負無窮）$\varphi$為該可測空間上的符號測度：

1. 規範性：$\varphi(\varnothing) = 0.$
2. 可列可加性：對任意兩兩不交的集合列$\{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{F}$都有$\varphi\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(A_i).$且如果$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)$有限那麼級數$\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})$絕對收斂。

這就是符號測度的公理化定義。滿足非負性的符號測度是測度。

• 如果$\mathcal{F}$上的符號測度$\varphi$滿足$\forall A \in \mathcal{F}$都有$\varphi(A) < +\infty.$我們就說$\varphi$是有限符號測度。
• 如果$\mathcal{F}$上的符號測度$\varphi$滿足$\forall A \in \mathcal{F}$都存在有限可測的集合列$\{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{F}: \varphi(A_i) < +\infty$使得$A \subset \bigcup_{i=1}^\infty A_i$，我們就說$\varphi$是σ有限的符號測度。有限符號測度是σ有限的，反之不真。

此外，雖然符號測度的值域可以取到正負無窮，但是最多只能取到正負無窮中的一個，我們在研究符號測度時總是約定符號測度不取負無窮。此外符號測度還有某種控制性質：假設同符號測度的定義，如果$A \subset B$且$|\varphi(B)| < +\infty$，那麼$|\varphi(A)| < +\infty.$

一個符號測度的重要例子即是測度的不定積分：

假設有測度空間$(X, \mathcal{F}, \mu)$上可積的可測函數$f$，定義如下$\mathcal{F}$上的集函數$$\varphi(A) = \int_A f \mathrm{d}\mu$$為$f$的不定積分，那麼$\varphi$是符號測度。

Hahn-Jordan 分解

符號測度可以用測度來描述，這就是如下的 Hahn 分解和 Jordan 分解。這兩個分解最初都是在 Lebesgue 積分的分解中提出的，現在我們將它們引入到一般的符號測度中去。給定可測空間$(X, \mathcal{F})$上的符號測度$\varphi$，首先我們定義如下非負單調規範的集函數 $$\varphi^*(A) := \sup \{ \varphi(B): B \subset A, B \in \mathcal{F} \}.$$

Hahn 分解

我們可以證明：假設有可測空間$(X, \mathcal{F})$上的符號測度$\varphi$，那麼可以對全集$X$進行分割：$X^+ \cup X^- = X, X^+ \cap X^- = \varnothing$滿足：$\forall A \in \mathcal{F}$都有 $$\varphi(A \cap X^+) \geqslant 0 \geqslant \varphi(A \cap X^-).$$ 我們就稱$\{ X^+, X^- \}$是$X$在$\varphi$下的 Hahn 分解，這個分解在相差一個零測集的意義下是唯一的，即若存在兩個 Hahn 分解$\{ X_1^+, X_1^- \}, \{ X_2^+, X_2^- \}$，那麼 $$\begin{align} \forall A \in \mathcal{F}, \quad A \subset X_1^+ \Delta X_2^+ \Longrightarrow \varphi(A) = 0, \\ \forall B \in \mathcal{F}, \quad B \subset X_1^- \Delta X_2^- \Longrightarrow \varphi(B) = 0. \\ \end{align}$$

Jordan 分解

假設有可測空間$(X, \mathcal{F})$上的符號測度$\varphi$，那麼存在測度$\varphi^+$和有限測度$\varphi^-$使得 $$\varphi = \varphi^+ - \varphi^-.$$ 且$\varphi^+ = \varphi^*, \varphi^- = (-\varphi)^*.$ 上述分解稱為$\varphi$的 Jordan 分解，這種分解是唯一的。

測度$\varphi^+, \varphi^-$分別稱為$\varphi$的上變差和下變差，而$|\varphi| := \varphi^+ + \varphi^-$稱為全變差，它們都是測度。

Radon-Nikodym 定理

給出符號測度之後我們希望定義它們在某種意義下的導數，這個定義的源泉始於如果一個不定積分視作某個函數的原函數，那麼這個函數就可以看作原來不定積分的導數，但是並不是所有的符號測度都可以這樣做，我們將指出導數存在的充要條件是後文定義的絕對連續性。

假設$\varphi$是測度空間$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的符號測度，如果存在幾乎處處意義下唯一的可測函數$f$使得 $$\varphi(A) = \int_A f \mathrm{d}\mu, \quad \forall A \in \mathcal{F}.$$ 我們就稱$f$是$\varphi$對$\mu$的 Radon-Nikodym 導數，簡稱為 R-N 導數，記作$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\mu} = f.$

假設$\varphi$是測度空間$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的符號測度，如果 $$\mu(A) = 0 \Longrightarrow \varphi(A) = 0.$$ 我們就稱$\varphi$是對$\mu$絕對連續的。

Radon-Nikodym 定理指出：只要$\mu$是σ有限且$\varphi$對$\mu$絕對連續，那麼$\varphi$對$\mu$的 R-N 導數就存在。進一步，如果$\varphi$是σ有限的，那麼$\varphi$對$\mu$的 R-N 導數幾乎處處有限。

上述定理中$\mu$是σ有限的條件是必須的。

Lebesgue 分解

一般的兩個符號測度之間不一定可以定義導數，但是它們之間依然可以存在某種關係，Lebesgue 分解指出σ有限的符號測度對另一個σ有限的符號測度可以分解為絕對連續的部分和相互奇異的部分。

假設有可測空間$(X, \mathcal{F})$上的兩個符號測度$\varphi, \psi$，如果存在$N \subset \mathcal{F}$使得$|\varphi|(N^c) = |\psi|(N) = 0$，我們就稱$\varphi$和$\psi$是相互奇異的，記作$\varphi \perp \psi.$

Lebesgue 分解定理指出：對可測空間$(X, \mathcal{F})$上的兩個σ有限的符號測度$\varphi, \psi$，存在兩個σ有限的符號測度$\varphi_c, \varphi_s$使得

1. $\varphi = \varphi_c + \varphi_s.$
2. $\varphi_c$對$\psi$絕對連續。
3. $\varphi_s$和$\psi$相互奇異。

且這種分解是唯一的。

這個定理可用來解釋概率論中隨機變量是離散型、連續型和奇異型變量的混合。

參考資料

1. 程士宏, 《測度論與概率論基礎》, 北京大學出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.
2. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.