符号测度

符号测度或称广义测度，是测度空间中不定积分概念之推广，因此可以来描述测度的导数相关的概念。它相较于测度而言仅仅少了非负性。符号测度在一定程度上可以借助测度进行分解，即 Hahn-Jordan 分解，此外关于符号测度还有测度论中最核心最重要的定理——Radon-Nikodym 定理。

定义

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$，我们称满足如下条件的集函数（函数值域是广义实数，即可以取正负无穷）$\varphi$为该可测空间上的符号测度：

1. 规范性：$\varphi(\varnothing) = 0.$
2. 可列可加性：对任意两两不交的集合列$\{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{F}$都有$\varphi\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(A_i).$且如果$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)$有限那么级数$\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})$绝对收敛。

这就是符号测度的公理化定义。满足非负性的符号测度是测度。

• 如果$\mathcal{F}$上的符号测度$\varphi$满足$\forall A \in \mathcal{F}$都有$\varphi(A) < +\infty.$我们就说$\varphi$是有限符号测度。
• 如果$\mathcal{F}$上的符号测度$\varphi$满足$\forall A \in \mathcal{F}$都存在有限可测的集合列$\{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{F}: \varphi(A_i) < +\infty$使得$A \subset \bigcup_{i=1}^\infty A_i$，我们就说$\varphi$是σ有限的符号测度。有限符号测度是σ有限的，反之不真。

此外，虽然符号测度的值域可以取到正负无穷，但是最多只能取到正负无穷中的一个，我们在研究符号测度时总是约定符号测度不取负无穷。此外符号测度还有某种控制性质：假设同符号测度的定义，如果$A \subset B$且$|\varphi(B)| < +\infty$，那么$|\varphi(A)| < +\infty.$

一个符号测度的重要例子即是测度的不定积分：

假设有测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上可积的可测函数$f$，定义如下$\mathcal{F}$上的集函数$$\varphi(A) = \int_A f \mathrm{d}\mu$$为$f$的不定积分，那么$\varphi$是符号测度。

Hahn-Jordan 分解

符号测度可以用测度来描述，这就是如下的 Hahn 分解和 Jordan 分解。这两个分解最初都是在 Lebesgue 积分的分解中提出的，现在我们将它们引入到一般的符号测度中去。给定可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，首先我们定义如下非负单调规范的集函数 $$\varphi^*(A) := \sup \{ \varphi(B): B \subset A, B \in \mathcal{F} \}.$$

Hahn 分解

我们可以证明：假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，那么可以对全集$X$进行分割：$X^+ \cup X^- = X, X^+ \cap X^- = \varnothing$满足：$\forall A \in \mathcal{F}$都有 $$\varphi(A \cap X^+) \geqslant 0 \geqslant \varphi(A \cap X^-).$$ 我们就称$\{ X^+, X^- \}$是$X$在$\varphi$下的 Hahn 分解，这个分解在相差一个零测集的意义下是唯一的，即若存在两个 Hahn 分解$\{ X_1^+, X_1^- \}, \{ X_2^+, X_2^- \}$，那么 $$\begin{align} \forall A \in \mathcal{F}, \quad A \subset X_1^+ \Delta X_2^+ \Longrightarrow \varphi(A) = 0, \\ \forall B \in \mathcal{F}, \quad B \subset X_1^- \Delta X_2^- \Longrightarrow \varphi(B) = 0. \\ \end{align}$$

Jordan 分解

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，那么存在测度$\varphi^+$和有限测度$\varphi^-$使得 $$\varphi = \varphi^+ - \varphi^-.$$ 且$\varphi^+ = \varphi^*, \varphi^- = (-\varphi)^*.$ 上述分解称为$\varphi$的 Jordan 分解，这种分解是唯一的。

测度$\varphi^+, \varphi^-$分别称为$\varphi$的上变差和下变差，而$|\varphi| := \varphi^+ + \varphi^-$称为全变差，它们都是测度。

Radon-Nikodym 定理

给出符号测度之后我们希望定义它们在某种意义下的导数，这个定义的源泉始于如果一个不定积分视作某个函数的原函数，那么这个函数就可以看作原来不定积分的导数，但是并不是所有的符号测度都可以这样做，我们将指出导数存在的充要条件是后文定义的绝对连续性。

假设$\varphi$是测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的符号测度，如果存在几乎处处意义下唯一的可测函数$f$使得 $$\varphi(A) = \int_A f \mathrm{d}\mu, \quad \forall A \in \mathcal{F}.$$ 我们就称$f$是$\varphi$对$\mu$的 Radon-Nikodym 导数，简称为 R-N 导数，记作$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\mu} = f.$

假设$\varphi$是测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的符号测度，如果 $$\mu(A) = 0 \Longrightarrow \varphi(A) = 0.$$ 我们就称$\varphi$是对$\mu$绝对连续的。

Radon-Nikodym 定理指出：只要$\mu$是σ有限且$\varphi$对$\mu$绝对连续，那么$\varphi$对$\mu$的 R-N 导数就存在。进一步，如果$\varphi$是σ有限的，那么$\varphi$对$\mu$的 R-N 导数几乎处处有限。

上述定理中$\mu$是σ有限的条件是必须的。

Lebesgue 分解

一般的两个符号测度之间不一定可以定义导数，但是它们之间依然可以存在某种关系，Lebesgue 分解指出σ有限的符号测度对另一个σ有限的符号测度可以分解为绝对连续的部分和相互奇异的部分。

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个符号测度$\varphi, \psi$，如果存在$N \subset \mathcal{F}$使得$|\varphi|(N^c) = |\psi|(N) = 0$，我们就称$\varphi$和$\psi$是相互奇异的，记作$\varphi \perp \psi.$

Lebesgue 分解定理指出：对可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个σ有限的符号测度$\varphi, \psi$，存在两个σ有限的符号测度$\varphi_c, \varphi_s$使得

1. $\varphi = \varphi_c + \varphi_s.$
2. $\varphi_c$对$\psi$绝对连续。
3. $\varphi_s$和$\psi$相互奇异。

且这种分解是唯一的。

这个定理可用来解释概率论中随机变量是离散型、连续型和奇异型变量的混合。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.
2. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.