符号函数

符号函数是指如下函数

$$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x<0.\end{cases}}$$

它和绝对值函数有密切关系。

函数性质

1. 定义域：$\R$，值域：$\{-1,0,1\}.$
2. 单调性：单调递增。
3. 奇偶性：奇函数。
4. 连续性：除原点外的任何区间上连续且一致连续，$x = 0$是跳跃间断点，不过函数是半连续的。
5. 可微性：除原点外处处可微，且$(\operatorname {sgn} x)'=0,\forall x\neq 0.$
6. 可积性：符号函数 Riemann 可积，且其一个原函数是绝对值函数$\int \operatorname {sgn} x\mathrm {d} x=|x|+C,\int _{a}^{b}\operatorname {sgn} x\mathrm {d} x=|b|-|a|.$
7. 符号函数不是初等函数。

运算性质

1. $\forall x\in \mathbb {R} ,|x|=x\operatorname {sgn} x,x=|x|\operatorname {sgn} x.$
2. $\operatorname {sgn}(\operatorname {sgn} x)=\operatorname {sgn} x.$
3. 对任意连续函数$f(x)$，有$|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x),f(x)=|f(x)|\operatorname {sgn} f(x).$

积分表达式

运用 Dirichlet 积分，符号函数可以表达为

$$\operatorname {sgn} x={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }{\dfrac {\sin xt}{t}}\mathrm {d} t.$$

在原函数中的应用

注意到对连续函数$f(x)$有$|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x),f(x)=|f(x)|\operatorname {sgn} f(x)$，它可以很方便地用来求解带有绝对值符号的函数的不定积分，实际上，下述等式

$$\int |f(x)|\mathrm {d} x=\int f(x)\operatorname {sgn} f(x)\mathrm {d} x=\operatorname {sgn} f(x)\int f(x)\mathrm {d} x.$$

的后一个等号对任意不包含$f(x) = 0$的区间都是正确的，因此它可以作为这些区间上$|f(x)|$的原函数$F(x)$。

但是，一旦区间包含$f(x) = 0$的那些点，情况就不同了，这时$\operatorname {sgn} f(x)$在$f(x) = 0$的那些点处发生间断，此时如果他的一个原函数$F(x)$在该点处非零，必然导致原函数$F(x)$是间断的，这时，如果我们不计算定积分，那么$F(x)$是可以被考虑的，如果要计算定积分，必须使$F(x)$连续，故需要对原函数$F(x)$做适当修改，这里仅考虑在我们感兴趣的区间上$f(x) = 0$的点$x_1,x_2,\cdots,x_n$有限（至多可列并有最小点或最大点，以下假设有最小点，最大点同理）。

在我们感兴趣的区间$(a,b)$上做如下意义的原函数$F_1(x)$：

$$F_1(x) = \begin{cases} F(x), & x \in (a, x_1], \\ F(x) - 2G(x_1), & x \in (x_1, x_2], \\ F(x) - 2G(x_1) - 2G(x_2), & x \in (x_2, x_3], \\ \cdots, \\ F(x) - 2G(x_1) - \cdots - 2G(x_n), & x \in (x_n, b), \\ \end{cases}$$

其中，$G(x)$是$f(x)$的一个原函数。

这样拼接而成的原函数是连续的，且处处可微。