积分第二中值定理

积分第二中值定理是微积分学中除积分第一中值定理外的另一个重要的中值定理，它相当于无穷级数中的 Abel 变换，在证明一些反常积分的判别法（Dirichlet 判别法、Abel 判别法）时有用。

内容

设$f(x)$在$[a, b]$上可积，非负函数$g(x)$在$[a, b]$上单调递减，那么存在$\xi \in [a, b]$，使得 $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(a) \int_a^\xi f(x) \mathrm{d}x.$$ 设$f(x)$在$[a, b]$上可积，非负函数$g(x)$在$[a, b]$上单调递增，那么存在$\xi \in [a, b]$，使得 $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(b) \int_\xi^b f(x) \mathrm{d}x.$$ 一般地，设$f(x)$在$[a, b]$上可积，$g(x)$在$[a, b]$上单调，那么存在$\xi \in [a, b]$，使得 $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(a) \int_a^\xi f(x) \mathrm{d}x + g(b) \int_\xi^b f(x) \mathrm{d}x.$$

推广

可以将它推广到反常积分中去，设$f(x)$在$(a,b)$（端点可以取到无穷）上广义可积，非负有界函数$g(x)$在$(a,b)$上单调递减，那么存在$\xi \in [a, b]$（可以取到无穷），使得 $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(a^+) \int_a^\xi f(x) \mathrm{d}x.$$ 设$f(x)$在$(a,b)$上广义可积，非负有界函数$g(x)$在$(a,b)$上单调递增，那么存在$\xi \in [a, b]$，使得 $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(b^-) \int_\xi^b f(x) \mathrm{d}x.$$ 设$f(x)$在$(a,b)$上广义可积，$g(x)$在$(a,b)$上单调有界，那么存在$\xi \in [a, b]$，使得 $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(a^+) \int_a^\xi f(x) \mathrm{d}x + g(b^-) \int_\xi^b f(x) \mathrm{d}x.$$

应用

用来证明反常积分中的 Dirichlet 判别法和 Abel 判别法。

也可用于证明某些命题，例如，下面的例题：

1.证明：若$c > 0, p > 0, 0 \leqslant a < b, n \in \mathbb{N}^{+}$，则 $$\left| \int_a^b \sin \left( nx - \dfrac{c}{x^p} \right) \mathrm{d}x \right| \leqslant \dfrac{2}{n}.$$

提示：令 $t = nx - \dfrac{c}{x^p}.$

上下节

• 上一节：定积分的应用
• 下一节：无穷限积分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.