积分第一中值定理

在定积分中，有一个地位相当于微分学中的 Lagrange 中值定理的中值定理，那就是积分第一中值定理（或者说，它是中值定理在一元积分学中的推广），它是说：若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，$g(x)$在$[a, b]$上保号可积，则存在$\xi \in [a, b]$，使得下式成立

$$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$$

进一步还可证明，上述的$\xi$还可以更加精细化为$\xi \in (a, b).$

证明

闭区间上的证明

令$M = \sup_{x \in [a, b]} f(x), m = \inf_{x \in [a, b]} f(x)$，不妨假设$g(x) \geqslant 0$，对任意的$x \in [a, b]$，都有

$$m g(x) \leqslant f(x) g(x) \leqslant M g(x)$$

即

$$m\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x\leqslant \int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x\leqslant M\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$$

故存在$k \in [m, M]$，使得

$$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = k \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$$

由$f(x)$的连续性，故存在$\xi \in [a, b]$，使得$f(\xi) = k$，进而有

$$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$$

这就证明了定理。

可以利用积分第一中值定理推出有关定积分的计算公式，尤其是变限积分的求导公式。

开区间上的证明

以下是积分第一中值定理关于$\xi \in (a, b)$成立的证明。

令$M = \sup_{x \in [a, b]} f(x), m = \inf_{x \in [a, b]} f(x)$，不妨假设$g(x) \geqslant 0$。当$\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=0$时，由于$m g(x) \leqslant f(x) g(x) \leqslant M g(x)$，故$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = 0$，于是存在$\xi \in (a, b)$使得$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x = f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$。现证明$\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x>0$的情况。

令$q={\dfrac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}}$，即证存在$\xi \in (a, b)$，使得$f(\xi )=q$。由闭区间上的证明可知$m\leqslant q\leqslant M$。

当$m<q<M$时，由$f(x)$的连续性，故存在$a<\alpha <\beta <b$，使得

$$m<f(\alpha )<q<f(\beta )<M\quad {\text{或}}\quad m<f(\beta )<q<f(\alpha )<M$$

故存在$\xi \in [\alpha ,\beta ]\subset (a,b)$，使得$f(\xi )=q$。

当$q=m$时，有$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x=m\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$，于是

$$\int _{a}^{b}(f(x)-m)g(x)\mathrm {d} x=0$$

由$g(x) \geqslant 0$及$\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x>0$，故存在$[\alpha, \beta] \subset (a, b)$，使得当$x\in [\alpha ,\beta ]$时，$g(x)>0$。

由于$f(x)\geqslant m$，故$(f(x)-m)g(x)\geqslant 0$。现证明存在$\xi \in [\alpha ,\beta ]\subset (a,b)$，使得$f(\xi )=m=q$。使用反证法，假设对于任意的$x\in [\alpha ,\beta ]$有$f(x)>m$，则$\inf _{x\in [\alpha ,\beta ]}(f(x)-m)g(x)>0$，于是

$$\int _{\alpha }^{\beta }(f(x)-m)g(x)\mathrm {d} x\geqslant (\beta -\alpha )\inf _{x\in [\alpha ,\beta ]}(f(x)-m)g(x)>0$$

从而

$$\int _{a}^{b}(f(x)-m)g(x)\mathrm {d} x\geqslant \int _{\alpha }^{\beta }(f(x)-m)g(x)>0$$

矛盾。于是存在$\xi \in [\alpha ,\beta ]\subset (a,b)$，使得$f(\xi )=m=q$。

同理可证$q=M$的情况。从而对于任意的$m\leqslant q\leqslant M$，存在$\xi \in (a, b)$，使得$f(\xi )=q$，这就证明了定理在开区间上的情况。

变限积分

设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上可积，则函数$F(x) = \int_a^x f(x) \mathrm{d}x$连续，我们称函数$F(x)$是$f(x)$的一个变上限积分，可以证明变上限积分函数就是被积函数的一个原函数，即有

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t = f(x)$$

可以证明，如果积分上限是一个关于$x$的函数，则有

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^{\varphi(x)} f(t) \mathrm{d}t = f(\varphi(x)) \varphi'(x)$$

由于定积分的可加性，我们可以让定积分的上下限一起变，更一般地，有如下变限积分的求导法则

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) \mathrm{d}t = f(\varphi(x)) \varphi'(x) - f(\psi(x)) \psi'(x)$$

积分平均值

如果定理中的$g(x) \equiv 1$，则原式变成了

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi) (b-a)$$

我们就把$f(\xi) = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$称为函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的积分均值，这个形式的中值定理在积分中十分常见。

它的几何意义是，区间$[a, b]$上$f(x)$决定的曲边梯形的定向面积，和一个长为$b-a$，高度为$f(\xi)$的矩形面积相等。

上下节

• 上一节：定积分
• 下一节：定积分的计算

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.