积分平均值

积分平均值是离散型加权平均数的连续区间推广，在物理中用途广泛，例如，交变电流的有效电流就是$I^2(t)$关于时间$t$的平均值。

定义

一元实函数

设定义在连续区间$[a, b]$上的一元实函数$f(x)$可积，我们就把$\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$称为函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的积分均值。特别地，若$f(x)$连续于$[a, b]$，则由积分第一中值定理，存在$\xi \in (a, b)$，使得 $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi) (b-a)$$ 它的几何意义是，区间$[a, b]$上$f(x)$决定的曲边梯形的定向面积，和一个长为$b-a$，高度为$f(\xi)$的矩形面积相等。

一般形式

假设有定义在$\mu$测度有限$U$上的$\mu$可积函数$u(x)$，那么它的积分平均值定义为 $$\dfrac{1}{\mu(U)} \int_U u \mathrm{d}\mu.$$ 积分平均值可以刻画函数的微分性质，例如 Lebesgue 微分定理。

估计不等式

1.设$f(x)$在$[a, b]$上连续可导，证明： $$\max_{x \in [a, b]} |f(x)| \leqslant \left| \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right| + \int_a^b |f'(x)| \mathrm{d}x.$$

答案：（单击右侧展开以显示>>>）

$\begin{align} \max_{x \in [a, b]} |f(x)| - \left| \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right| & \underset{\overset{\xi_2 \in (a, b)}{}}{\overset{\underset{\xi_1 \in [a, b]}{}} {=\!=\!=\!=}} |f(\xi_1)| - |f(\xi_2)| \\ & \leqslant |f(\xi_1) - f(\xi_2)| \\ & \leqslant \left| \int_{\xi_2}^{\xi_1} f'(x) \mathrm{d}x \right| \\ & \leqslant \int_{\xi_1}^{\xi_2} |f'(x)| \mathrm{d}x \\ & \leqslant \int_a^b |f'(x)| \mathrm{d}x \end{align}$
其中，第一个等号使用了连续性（闭区间上的连续函数可取到最大值）以及积分第一中值定理，第三个等号使用了 Newton-Leibniz 公式。

2.（凸函数积分均值的估计）设$f(x)$是$[a, b]$上的凸函数，证明 $$f(\dfrac{a+b}{2}) \leqslant \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leqslant \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$

提示：

如图，设$f(x)$的曲线为绿色线，$A(a, 0), B(b, 0)$，则梯形FDEG的面积为$S_1 = f(\dfrac{a+b}{2}) (b-a)$，而梯形ADEB的面积为$S_2 = \dfrac{f(a)+f(b)}{2} (b-a)$ 而$S_1 \leqslant \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leqslant S_2$，故所证是显然的。

将以上分析按照严谨的数学语言写出答案即可。

3.设$f(x) \geqslant 0 \geqslant f''(x), \forall x \in [a, b]$，证明 $$f(x) \leqslant \dfrac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x, \quad \forall x \in [a, b]$$

提示：

即证明：

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \geqslant \dfrac{b-a}{2} f(x), \quad \forall x \in [a, b]$$

设$X(x, f(x))$，作图分析可知，三角形ABX的面积就是$S_\Delta = \dfrac{b-a}{2} f(x)$，由于下凸函数的性质，可知梯形XCAE的面积不小于三角形XAE的面积，同理梯形XEBD的面积不小于三角形XEB的面积，据此可证明结论。

4.压缩不等式：若函数$f(x)$是区间$[a, b]$上的压缩函数，即对任意的$x_1, x_2 \in [a, b], |f(x_1) - f(x_2)| \leqslant |x_1 - x_2|$，那么$$\left| \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x - f(a) \right| \leqslant \dfrac{b-a}{2}.$$

5.凸均值不等式：设$\varphi(x)$在$[a, b]$上连续，$f(x)$在$\varphi([a, b])$上可微上凸，证明： $$f \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \varphi(x) \mathrm{d}x \right) \leqslant \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f( \varphi(x)) \mathrm{d}x.$$

变限函数

设函数$f(x)$在区间$[0, b]$（$b$可以取无穷）上（广义）可积。那么称 $$F(x) = \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d}t$$ 为函数$f(x)$的变限积分均值函数。不失一般性，对定义在$[a, b]$上的函数$g(x)$，可以将它平移到$[0, b-a]$上考虑函数$f(x) = g(x+a).$

处理该类问题时通常使用的变换是$t = ux$，这样$F(x) = \int_0^1 f(ux) \mathrm{d}u$就成为一个定积分（实质上是含参变量的积分）。

它有如下性质，

1. 保单调性：若$f(x)$在$[0, b]$上单调递增（减），由上构造的函数$F(x)$在$[0, b]$上亦为单调递增（减）的；
2. 保凸性：若$f(x)$在$[0, b]$上（下）凸，由上构造的函数$F(x)$在$[0, b]$上亦为上（下）凸的。

平均值定理

涉及到调和函数或解析函数，有平均值定理，它的大意是可以使用周线的积分均值来表示内部点的函数值。

解析函数的平均值定理：设函数$f(z)$在开圆盘$|z-z_0| < R$上解析，在$|z - z_0| \leqslant R$上连续，那么$$f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + R \text{e}^{\text{i}\varphi}) \mathrm{d}\varphi$$

反常积分均值

对于一个在正无穷区间$[0, + \infty)$上广义可积的函数$f(x)$，下式 $$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d}t$$ 在某些实际问题中有特殊应用，如果上式存在有限值，我们就说这是函数$f(x)$的反常积分均值。

对于存在最小正周期$T$的广义可积的周期函数$f$而言，上述反常积分均值是该函数在一个最小正周期内的积分均值，即 $$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d}t = \dfrac{1}{T} \int_0^T f(t) \mathrm{d}t.$$ 参见 Fejer 公式，例如

1. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} \int_0^x \sin t \mathrm{d}t = 0;$
2. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} \int_0^x |\sin t| \mathrm{d}t = \dfrac{2}{\pi};$
3. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} \int_0^x (t - [t]) \mathrm{d}t = \dfrac{1}{2},$其中，$[x]$为取整函数。

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（上）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6805-8.