積分區域

為了對多元積分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$進行計算，我們需要對積分區域$\mathit{\Omega}$進行描述，我們的原則是用一系列關於各分量的不等式對區域$\mathit{\Omega}$進行刻畫。

需要指出的是，此處的積分「區域」都是閉域，和一般區域的概念有所不同。

曲線

如果積分區域是曲線，那麼它的自由度為$1$，可以用一個參數控制。

1. 當該曲線位於$\mathbb R^{1}$中時，它就是一個區間$\mathit{\Gamma}_1 = \{ x | x \in [a, b] \};$
2. 當該曲線位於$\mathbb R^{2}$中時，它可以表示為$\mathit{\Gamma}_2 = \{ (x, y) | x = x(t), y = y(t), t \in [\alpha, \beta] \}$，注意到平面曲線還可以是一元實函數的圖像，於是還可以表示為$\mathit{\Gamma}_2 = \{(x, y) | y = f(x), x \in \mathit{\Gamma}_1 \}$，它可以寫為如下向量形式$$\boldsymbol{r} (t) = x(t) \boldsymbol{i} + y(t) \boldsymbol{j};$$
3. 當該曲線位於$\mathbb R^{3}$中時，它可以表示為$\mathit{\Gamma}_3 = \{ (x, y, z) | x = x(t), y = y(t), z = z(t), t \in [\alpha, \beta] \}$，還可以表示為$\mathit{\Gamma}_3 = \{(x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) \in \mathit{\Gamma}_2 \}.$它可以寫為如下向量形式$$\boldsymbol{r} (t) = x(t) \boldsymbol{i} + y(t) \boldsymbol{j} + z(t) \boldsymbol{k}.$$

曲面

如果積分區域是曲面，那麼它的自由度為$2$，可以用兩個參數控制。

二維平面上的曲面就是平面區域，我們着手對三維空間中的曲面討論，顯然它可以由參數表示 $$\mathit{\Sigma} = \{ (x, y, z) | x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), u \in [\alpha_1, \beta_1], v \in [\alpha_2, \beta_2] \}.$$ 它可以寫作如下向量形式 $$\boldsymbol{r} (u, v) = x(u, v) \boldsymbol{i} + y(u, v) \boldsymbol{j} + z(u, v) \boldsymbol{k}.$$ 注意到空間曲面還可以是二元實函數的圖像，於是還可以表示為 $$\mathit{\Sigma} = \{(x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) \in D \}.$$其中$D$是平面。

平面上的積分區域

接下來我們着重討論平面區域$D$的描述，我們希望用一系列的關於各變元的有序的不等式區間描述。

直角情形情形

一個矩形區域，如果它的邊平行於坐標軸，顯然$D = \{ (x, y) | a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d \} = [a, b] \times [c, d].$

下面我們引入$x$型區域的概念：這個區域$D_x$恰好位於直線$x=a$和$x = b$之間，即$a = \min_{(x, y) \in D_x} x, b = \max_{(x, y) \in D_x} y$，且對於任意一條直線$x = x_0 \in (a, b)$，它和區域的邊界有一系列（甚至不可列個）交點$X = \{ (x_0, y_{i}(x_0)) \in \partial D_x \}$，如果對於任意的$i,j$都有$(x_0, y_{i}(x_0) - y_{j}(x_0)) \in X$，我們就說這個區域是$x$型區域，它有唯一確定的上邊界$y_1 (x) = \max_i y_i(x)$與下邊界$y_2 (x) = \min_i y_i(x)$，那麼自然得到該區域的一種描述 $$D_x = \{ (x, y) | a \leqslant x \leqslant b, y_1(x) \leqslant y \leqslant y_2(x) \}.$$ 同樣，我們可以定義$y$型區域$D_y$。由此我們可以知道，描述一個上述區域的關鍵就是找到一個變量依賴另一個變量的完全區間，關鍵在於邊界函數$y_1(x), y_2(x)$的確定。對於不滿足上述區域的情形，我們可做適當有限分解，使得每一部分都是上述區域，逐個積分（實際上，對於逐段連續曲線構成的閉合有界區域，它總可以分為有限個上述某種區域的和）。

極坐標情形

以上是在直角坐標中討論的，可以將其定義到極坐標中，定義所謂的$\theta$型區域$D_\theta$和$\rho$型區域$D_\rho$，一般我們總是假定$r \geqslant 0, \theta \in [0, 2\pi).$其中$\theta$型區域在極坐標變換下的積分中應用廣泛，我們着重分三種情形來描述這樣的$\theta$型區域$D$。

1. 極點在區域外，即$O \notin D$：設這個區域$D$恰好位於射線$\theta = theta_1$和$\theta = \theta_2$之間，下邊界函數和上邊界函數分別是$r_1 (\theta), r_2 (\theta)$，那麼該區域可以描述為$$D = \{ (r, \theta) | \theta_1 \leqslant \theta \leqslant \theta_2, r_1(\theta) \leqslant r \leqslant r_2 (\theta) \}.$$
2. 極點在區域內，即$O \in D$：選擇參考起始射線$\theta=\theta_0$（一般選擇$\theta_0 = 0$），當射線在$[0, 2\pi)$內連續變化一周時，它和區域$D$的邊界交於一點，設該點的極徑為$r_2 (\theta)$，那麼該區域可以描述為$$D = \{ (r, \theta) | 0 \leqslant \theta < 2\pi, 0 \leqslant r \leqslant r_2 (\theta) \}.$$
3. 極點在區域邊界上，即$O \in \partial D$：設過極點與這個區域$D$相切於射線$\theta = theta_1$和$\theta = \theta_2$，區域邊界由點$( r_2 (\theta), \theta )$組成（除去極點），那麼該區域可以描述為$$D = \{ (r, \theta) | \theta_1 \leqslant \theta \leqslant \theta_2, 0 \leqslant r \leqslant r_2 (\theta) \}.$$

三維空間中的積分區域

類似平面中的$x$型區域那樣，我們可以定義$Oxy$型區域，例如 $$V = \{ (x, y, z) | (x, y) \in D_{xy}, z_1(x, y) \leqslant z \leqslant z_2(x, y). \}$$ 確定三維空間中的一個區域，關鍵也是對邊界函數的掌握，其中，上述$z_1(x, y), z_2(x, y)$是通過某個和$z$軸平行的直線確定的，它在圖形上是一個曲面，即積分區域的上界曲面和下界曲面。確定邊界曲面的方法有投影法。

此外，除了投影法還有切片法，它可以確定如下形式的區域 $$V = \{ (x, y, z) | x \in [a, b], (y, z) \in D_{yz} (x). \}$$ 平面閉區域$D_{yz} (x_0) = \{ (0, y, z) | (x_0, y, z) \in V \}$是由固定$x = x_0$確定的。

上下節

• 上一節：多元積分
• 下一節：二重積分

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.