积分区域

为了对多元积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$进行计算，我们需要对积分区域$\mathit{\Omega}$进行描述，我们的原则是用一系列关于各分量的不等式对区域$\mathit{\Omega}$进行刻画。

需要指出的是，此处的积分“区域”都是闭域，和一般区域的概念有所不同。

曲线

如果积分区域是曲线，那么它的自由度为$1$，可以用一个参数控制。

1. 当该曲线位于$\mathbb R^{1}$中时，它就是一个区间$\mathit{\Gamma}_1 = \{ x | x \in [a, b] \};$
2. 当该曲线位于$\mathbb R^{2}$中时，它可以表示为$\mathit{\Gamma}_2 = \{ (x, y) | x = x(t), y = y(t), t \in [\alpha, \beta] \}$，注意到平面曲线还可以是一元实函数的图像，于是还可以表示为$\mathit{\Gamma}_2 = \{(x, y) | y = f(x), x \in \mathit{\Gamma}_1 \}$，它可以写为如下向量形式$$\boldsymbol{r} (t) = x(t) \boldsymbol{i} + y(t) \boldsymbol{j};$$
3. 当该曲线位于$\mathbb R^{3}$中时，它可以表示为$\mathit{\Gamma}_3 = \{ (x, y, z) | x = x(t), y = y(t), z = z(t), t \in [\alpha, \beta] \}$，还可以表示为$\mathit{\Gamma}_3 = \{(x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) \in \mathit{\Gamma}_2 \}.$它可以写为如下向量形式$$\boldsymbol{r} (t) = x(t) \boldsymbol{i} + y(t) \boldsymbol{j} + z(t) \boldsymbol{k}.$$

曲面

如果积分区域是曲面，那么它的自由度为$2$，可以用两个参数控制。

二维平面上的曲面就是平面区域，我们着手对三维空间中的曲面讨论，显然它可以由参数表示 $$\mathit{\Sigma} = \{ (x, y, z) | x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), u \in [\alpha_1, \beta_1], v \in [\alpha_2, \beta_2] \}.$$ 它可以写作如下向量形式 $$\boldsymbol{r} (u, v) = x(u, v) \boldsymbol{i} + y(u, v) \boldsymbol{j} + z(u, v) \boldsymbol{k}.$$ 注意到空间曲面还可以是二元实函数的图像，于是还可以表示为 $$\mathit{\Sigma} = \{(x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) \in D \}.$$其中$D$是平面。

平面上的积分区域

接下来我们着重讨论平面区域$D$的描述，我们希望用一系列的关于各变元的有序的不等式区间描述。

直角情形情形

一个矩形区域，如果它的边平行于坐标轴，显然$D = \{ (x, y) | a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d \} = [a, b] \times [c, d].$

下面我们引入$x$型区域的概念：这个区域$D_x$恰好位于直线$x=a$和$x = b$之间，即$a = \min_{(x, y) \in D_x} x, b = \max_{(x, y) \in D_x} y$，且对于任意一条直线$x = x_0 \in (a, b)$，它和区域的边界有一系列（甚至不可列个）交点$X = \{ (x_0, y_{i}(x_0)) \in \partial D_x \}$，如果对于任意的$i,j$都有$(x_0, y_{i}(x_0) - y_{j}(x_0)) \in X$，我们就说这个区域是$x$型区域，它有唯一确定的上边界$y_1 (x) = \max_i y_i(x)$与下边界$y_2 (x) = \min_i y_i(x)$，那么自然得到该区域的一种描述 $$D_x = \{ (x, y) | a \leqslant x \leqslant b, y_1(x) \leqslant y \leqslant y_2(x) \}.$$ 同样，我们可以定义$y$型区域$D_y$。由此我们可以知道，描述一个上述区域的关键就是找到一个变量依赖另一个变量的完全区间，关键在于边界函数$y_1(x), y_2(x)$的确定。对于不满足上述区域的情形，我们可做适当有限分解，使得每一部分都是上述区域，逐个积分（实际上，对于逐段连续曲线构成的闭合有界区域，它总可以分为有限个上述某种区域的和）。

极坐标情形

以上是在直角坐标中讨论的，可以将其定义到极坐标中，定义所谓的$\theta$型区域$D_\theta$和$\rho$型区域$D_\rho$，一般我们总是假定$r \geqslant 0, \theta \in [0, 2\pi).$其中$\theta$型区域在极坐标变换下的积分中应用广泛，我们着重分三种情形来描述这样的$\theta$型区域$D$。

1. 极点在区域外，即$O \notin D$：设这个区域$D$恰好位于射线$\theta = theta_1$和$\theta = \theta_2$之间，下边界函数和上边界函数分别是$r_1 (\theta), r_2 (\theta)$，那么该区域可以描述为$$D = \{ (r, \theta) | \theta_1 \leqslant \theta \leqslant \theta_2, r_1(\theta) \leqslant r \leqslant r_2 (\theta) \}.$$
2. 极点在区域内，即$O \in D$：选择参考起始射线$\theta=\theta_0$（一般选择$\theta_0 = 0$），当射线在$[0, 2\pi)$内连续变化一周时，它和区域$D$的边界交于一点，设该点的极径为$r_2 (\theta)$，那么该区域可以描述为$$D = \{ (r, \theta) | 0 \leqslant \theta < 2\pi, 0 \leqslant r \leqslant r_2 (\theta) \}.$$
3. 极点在区域边界上，即$O \in \partial D$：设过极点与这个区域$D$相切于射线$\theta = theta_1$和$\theta = \theta_2$，区域边界由点$( r_2 (\theta), \theta )$组成（除去极点），那么该区域可以描述为$$D = \{ (r, \theta) | \theta_1 \leqslant \theta \leqslant \theta_2, 0 \leqslant r \leqslant r_2 (\theta) \}.$$

三维空间中的积分区域

类似平面中的$x$型区域那样，我们可以定义$Oxy$型区域，例如 $$V = \{ (x, y, z) | (x, y) \in D_{xy}, z_1(x, y) \leqslant z \leqslant z_2(x, y). \}$$ 确定三维空间中的一个区域，关键也是对边界函数的掌握，其中，上述$z_1(x, y), z_2(x, y)$是通过某个和$z$轴平行的直线确定的，它在图形上是一个曲面，即积分区域的上界曲面和下界曲面。确定边界曲面的方法有投影法。

此外，除了投影法还有切片法，它可以确定如下形式的区域 $$V = \{ (x, y, z) | x \in [a, b], (y, z) \in D_{yz} (x). \}$$ 平面闭区域$D_{yz} (x_0) = \{ (0, y, z) | (x_0, y, z) \in V \}$是由固定$x = x_0$确定的。

上下节

• 上一节：多元积分
• 下一节：二重积分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.