在高等代数中,秩一矩阵是指秩小于等于一的矩阵,这类矩阵可用于描述有关矩阵的不等式的退化形式的条件,例如变分问题中的 Legendre-Hadamard 条件。
性质[]
- 两方面证明。
- 如果
是零矩阵,结论自然成立,下面假设其非零,这个时候存在一个非零列记作
,于是由向量组理论可知
的列向量组都是非零列向量的
数量倍,即
。这样我们就找到了
- 反过来,同样由向量组理论,
的秩也不会超过
。
- 如果
是方阵,那么它的特征值是
个零和它的迹
。进一步,
- 当
非零的时候,它是
对应于非零特征值
的特征向量,这是因为
第二个关系式考察转置之后的式子即可。
- 只需考虑
的情形,这个时候,用极分解
,那么
,而
和
具有相同的秩,这就表明
和
具有相同的秩。
秩一扰动[]
有的时候给定一个矩阵
,我们会考察它在一系列秩一矩阵的扰动下的特征值问题。
假设我们有

阶方阵

,它有一个几何重数是

的特征值

及其对应的

维特征子空间

,那么

是

的几何重数至少是

的特征值。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
不妨假设
不是零,由于
是
的特征向量,那么

于是

如果

,那么重数在扰动之后不变,如果

,那么取

在

中的正交补空间中的元素,我们就可以做到

,这是因为关于

的方程

只有一个约束,而其却是

维的方程组,有

个自由度。
这样,如果有
个扰动,那么对应的矩阵

相对于

而言,它对应于某个

的特征值的重数就会至多减少

个。