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在高等代数中,秩一矩阵是指小于等于一的矩阵,这类矩阵可用于描述有关矩阵的不等式的退化形式的条件,例如变分问题中的 Legendre-Hadamard 条件

性质[]

下面是一些秩一矩阵的基本性质:
  1. 秩一矩阵的一个等价刻画是,存在使得
  2. 如果是方阵,那么它的特征值个零和
  3. 如果是方阵,那么
  4. 如果是方阵,且满足:存在使得,那么是秩一矩阵。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
  1. 两方面证明。
    1. 如果是零矩阵,结论自然成立,下面假设其非零,这个时候存在一个非零列记作,于是由向量组理论可知的列向量组都是非零列向量的数量倍,即。这样我们就找到了
    2. 反过来,同样由向量组理论,的秩也不会超过
  2. 如果是方阵,那么它的特征值个零和它的。进一步,
  3. 非零的时候,它是对应于非零特征值的特征向量,这是因为
    第二个关系式考察转置之后的式子即可。
  4. 只需考虑的情形,这个时候,用极分解,那么,而具有相同的秩,这就表明具有相同的秩。

秩一扰动[]

有的时候给定一个矩阵,我们会考察它在一系列秩一矩阵的扰动下的特征值问题。

假设我们有阶方阵,它有一个几何重数是的特征值及其对应的维特征子空间,那么的几何重数至少是的特征值。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

不妨假设不是零,由于的特征向量,那么

于是
如果,那么重数在扰动之后不变,如果,那么取中的正交补空间中的元素,我们就可以做到,这是因为关于的方程只有一个约束,而其却是维的方程组,有个自由度。

这样,如果有个扰动,那么对应的矩阵

相对于而言,它对应于某个的特征值的重数就会至多减少个。

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