在矩阵代数中,秩的概念十分重要,它是矩阵可逆问题的加细,在线性方程组中与其解的结构关系密切。
概念[]
设
,称该矩阵每一列组成的列向量组
的秩为该矩阵的列秩,而该矩阵的每一行组成的行向量组
的秩称为该矩阵的行秩。
定理:矩阵的行秩和列秩相等,称为该矩阵的秩(rank),记作
,且有性质
实际上,矩阵的秩还可通过其子式判断:矩阵
的秩为
当且仅当它的所有
阶子式不全为零,而阶数比它大的子式(如果存在)为零。
称一个方阵是满秩矩阵,如果它的秩等于其阶数,所以满秩矩阵就是可逆矩阵。
定理:有限次初等变换不改变矩阵的秩,因此,一个矩阵的秩就是它所对应等价标准型
中的
。
矩阵秩的求法[]
我们可以按照 Gauss 消去法来求解一个矩阵的秩,进一步地,我们还可以运用这个方法找出一个向量组的秩以及极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。我们以向量组为例,基本做法是将该向量组中的向量化为列向量形式并将其写为矩阵形式(转置不改变矩阵的秩),运用初等行变换化该矩阵为行简化的阶梯形矩阵
,那么所有非零行的个数
就是矩阵(也就是原向量组)的秩,设每个非零行对应的第一个非零元素所在的
列分别是第
列,那么保持列的相对位置不变,原来的
组成极大线性无关组,其余部分的向量用该极大无关组表示
时的系数
就是
对应位置的元素。
例如,设三元列向量组
组成矩阵
那么对它进行初等行变换

于是,

,该向量组的一个极大线性无关组是

,其余用这个无关组表示为

有关秩的性质[]
- 设
,则有
- 设
,则有
,当
时取到等号。
- 设
,若
,那么
- 设
,存在
,使得
- 设
,那么
- 设
,那么
- 设
,
,那么
- 设
,且
可逆,那么
- 设
,那么
- 设
,那么
- 设
,且满足
,那么
和
相似。

上下节[]
参考资料