离散型随机变量

离散型随机变量是概率论中随机变量的一种，一个随机现象的试验结果如果只有有限个（或至多可列个），这种类型的模型所对应的随机变量就是离散型随机变量。

概率分布

设$X$是一个离散概率空间的随机变量（它是从事件域$\mathcal{F}$到一个博雷尔点集$B$的单值实映射），实际上，对于任意$\mathcal{F}$中的基本事件$\omega_i$，函数$X(\omega_i)$都是一个实数，且对任意不同的基本事件，$X$的取值都不相同。虽然我们习惯上说这是一个“变量”，实际上它是一个函数。

设$\{ x_i \}$是随机变量的所有可能取值，那么 $$P\{X=x_{i}\}=P\{\omega :X(\omega )=x_{i}\}=p(x_{i}),i=1,2,\cdots .$$ 我们就把上式称为离散型随机变量的概率分布，其中$p(x_i)$是离散型概率空间中定义的概率。

分布列

我们把每个式#A1的$x_i$及对应的$P\{X = x_i\}$列成一个表格，如下图 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_i & \cdots \\ \hline P\{X = x_i\} & p(x_1) & p(x_2) & \cdots & p(x_i) & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 我们就称这样的表为离散型随机变量的分布列。非离散型随机变量一般没有分布列。

分布函数

我们可以根据随机变量的分布函数导出离散型随机变量的（密度）分布函数 $$F(x) = P \{ X(\omega) < x \} = \sum_{x_k < x} p(x_k).$$ 这样定义的分布函数显然具有

1. 单调性：$F(a) \leqslant F(b), \forall a \leqslant b;$
2. $F(-\infty) := \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, F(+\infty) := \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1;$
3. 左连续性：$F(a^-):= \lim_{x \to a^-} F(x) = F(a);$
4. 与密度函数的关系：$P\{X = a\} = F(a^+) - F(a).$

当然，我们也可以将下式作为分布函数的定义 $$F(x) = P \{ X(\omega) \leqslant x \} = \sum_{x_k \leqslant x} p(x_k).$$ 这样定义的函数性质具有上述前两条，后两条要稍加修改：右连续性$F(a^+) = F(a)$以及$P\{X = a\} = F(a) - F(a^-).$我们一般采用前一种定义。

离散型随机变量的分布函数是跳跃函数。

离散型随机变量的函数

有时候我们需要研究与一个随机变量$X$的相关的随机变量$Y$，它们有关系$Y = g(X)$，我们来讨论离散型的情况。

已知$X$的分布列为#A2，那么可以得到下表 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline g(X) & g(x_1) & g(x_2) & \cdots & g(x_i) & \cdots \\ \hline P & p(x_1) & p(x_2) & \cdots & p(x_i) & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 这时，我们仅需将相同的$g(x_i)$合并作为相应的$y_i$即可得到$Y$的分布列，进而就知道了$Y$的概率分布。

数学期望与方差

设离散型随机变量$X$的分布列为#A2，那么我们也把$p(x_i)$称作随机变量取到值$x_i$的权重，那么得到它的数学期望 $$E(X) = \sum_{i=1}^\infty x_i p(x_i)$$ 在上述级数中我们总要求它是绝对收敛的，否则就说这个随机变量的数学期望不存在。 同样可以得到离散型随机变量的方差 $$D(X) = \sum_{i=1}^\infty \big( x_i - E(X) \big)^2 p(x_i) = E(X^2) - (E(X))^2.$$ 后一个等号是通过数学期望的线性性得到的。

上下节

• 上一节：Bernoulli 概型
• 下一节：二项分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.