示性函数

在概率论和数理统计中，示性函数是一个转换概率的工具，它实质上是一个可测集上的特征函数。

随机事件

一个随机事件$A$的示性函数$\boldsymbol{1}_A$可以表示为：该事件发生时函数取值为1，不发生时取值为0.它可以将一个随机现象定量转化为随机变量$X \sim \boldsymbol{1}_A$。这实际上对应了 Bernoulli 概型中两点分布的情形，且如果该事件发生的概率为$p$，那么$E(\boldsymbol{1}_A) = p = P \{ X = 1 \}.$

二值随机变量

一个随机变量如果只有两种取值，我们称其为二值随机变量。假设$X$是二值随机变量，且取值$\{a,b\}$，若记$A = \{ X = a \}$那么它的示性函数为 $$\boldsymbol{1}_A(x) = \dfrac{x - c}{a - c}.$$ 因此$E(\boldsymbol{1}_A) = P(A), D(\boldsymbol{1}_A) = P(A)(1 - P(A)).$

示性函数的基本性质是 $$\boldsymbol{1}_{\overline{A}} = 1 - \boldsymbol{1}_A, \boldsymbol{1}_{A \cup B} = 1 - \boldsymbol{1}_{\overline{A}~\overline{B}}, \boldsymbol{1}_{AB} = \boldsymbol{1}_A \boldsymbol{1}_B.$$ 它有和概率一样的性质，例如 $$\boldsymbol{1}_{A \cup B \cup C} = \boldsymbol{1}_A + \boldsymbol{1}_B + \boldsymbol{1}_C - \boldsymbol{1}_{AB} - \boldsymbol{1}_{BC} - \boldsymbol{1}_{AC} + \boldsymbol{1}_{ABC}.$$

统计应用

示性函数的期望是一个随机变量取某些值的概率，这一点在数理统计中有一些应用，例如考虑一个点估计问题：假设有取自两点分布$b(1, p)$总体的样本$X_1, X_2, \cdots, X_n$，那么待估函数$g(p) = p^k ~(k \in \N^+, 0 < k < n)$就可以写作$g(p) = E(\boldsymbol{1}_{\{ X_1 = X_2 = \cdots = X_k = 1\}})$。进而令$\varphi(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{1}_{\{ X_1 = X_2 = \cdots = X_k = 1\}}$就是$g(p)$的无偏估计。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.