确界定理

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确界定理是实数完备性的一组等价定理之一，在许多数学教材中会不加证明的承认它是正确的，因此也叫确界原理，它可以由实数的无限小数公理或者 Dedekind 分割证明，由它也可以推出其他的实数完备性等价定理。

确界的定义

设 $\mathbf{E}$ 是非空数集，若存在实数 $\alpha$ 具有下列性质：

1. $\forall x \in \mathbf {E}$，有 $x \leqslant \alpha$；
2. $\forall \varepsilon > 0 , x_0 \in \mathbf {E}$，有 $\alpha - \varepsilon < x_0$；

则称 $\alpha$ 是数集 $\mathbf{E}$ 的上确界，记为 $\alpha = \sup {\mathbf {E}}$。

设 $\mathbf{E}$ 是非空数集，若存在实数 $\beta$ 具有下列性质：

1. $\forall x \in \mathbf {E}$，有 $x \geqslant \beta$；
2. $\forall \varepsilon > 0 , x_0 \in \mathbf {E}$，有 $\beta + \varepsilon > x_0$；

则称 $\beta$ 是数集 $\mathbf{E}$ 的下确界，记为 $\beta = \inf {\mathbf {E}}$。

非空数集 $\mathbf{E}$ 的上确界就是这个数集的最小上界；下确界就是这个数集的最大下界。

确界定理

若非空数集 $\mathbf{E}$ 有上（下）界，则数集 $\mathbf{E}$ 存在唯一的上（下）确界。

定理的证明

我们用无限小数公理来证明确界定理：

证 上确界：不妨设$S$中有非负数，则有$S$有上界可知$\exists n \in \mathbb{N^{+}}, s.t.$
$\forall x \in S, x < n + 1,$
$\exists a_0 \in S, a_0 \geqslant n.$
10等分区间$[ n,~ n + 1 ), \exists n_1 \in { \{ i \} }_{i = 0}^{9}, s.t.$

1. $\forall x \in S, x < n.n_1 + 0.1$
2. $\exists a_0 \in S, a_0 \geqslant n.n_1.$

10等分区间$[ n.n_1,~ n.n_1 + 0.1 ), \exists n_2 \in { \{ i \} }_{i = 0}^{9}, s.t.$

1. $\forall x \in S, x < n.n_1n_2 + 0.01$
2. $\exists a_0 \in S, a_0 \geqslant n.n_1n_2.$

$\cdots$
这样一直继续下去，于是可知$\forall k \in \mathbb{N^{+}}, \exists n_k \in { \{ i \} }_{i = 0}^{9}, s.t.$

1. $\forall x \in S, x < n.n_1n_2 \cdots n_k + 0.1^k \qquad (1)$
2. $\exists a_0 \in S, a_0 \geqslant n.n_1n_2 \cdots n_k .$

这样一直经过无限步之后，得到$\xi = n.n_1n_2 \cdots n_k \cdots,$
要证$\xi = \sup{S}$，只需证$( \forall x \in S, x \leqslant \xi ) \land ( \forall a < \xi, \exists a' \in S, s.t. a < a' )$为真
对于(i)$\forall x \in S, x \leqslant \xi$: 用反证法，如果命题不真，即$\exists x \in S, s.t. x > \xi,$
则有这样一个 $x$ 的 $k$ 位不足近似$\check{x}^{(k)}, s.t. \check{x}^{(k)} > \check{\xi}^{(k)}$
进而可知$x > n.n_1n_2 \cdots n_k + 0.1^k$
这与(1)矛盾，从而(i)成立。

对于(ii) $\forall a < \xi, \exists a' \in S, s.t. a < a'$: 设 $a < \xi$，则 $\exists k \in \mathbb{N^{+}}, s.t. \xi$的 $k$ 位不足近似 $\check{x}^{(k)} > \hat{a}^{(k)}$，即 $n.n_1n_2 \cdots n_k > \hat{a}^{(k)}$
所以有 $a' \geqslant \check{x}^{(k)} > \hat{a}^{(k)} \geqslant a$
所证(ii)成立。

同理可知下确界的情况也成立。

证明其他等价定理

单调有界定理

证 不妨设 $\{ a_n \}$ 为有上界的递增数列。
由确界定理，数列 $\{ a_n \}$ 有上确界，记 $a = \sup{ \{ a_n \} }$，下面证明 $a$ 就是 $\{ a_n \}$ 的极限。
事实上，任给$\varepsilon > 0$，按上确界的定义，存在数列 $\{ a_n \}$ 中某一项 $a_N$，使得$a - \varepsilon > a_N$。
由 $\{ a_n \}$ 的递增性，当 $n \geqslant N$ 时有 $a - \varepsilon < a_N \leqslant a_n$。
另一方面,由于 $a$ 是 $\{ a_n \}$ 的一个上界，故对一切 $a_n$ 都有 $a_n \leqslant a < a + \varepsilon$。
所以当 $n \geqslant N$ 时有

$a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$

这就证得 $a_n=a$。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。

Cauchy 收敛准则

Cauchy 收敛准则：数列$\{ a_n \}$收敛$\iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb {N}^{+}, \forall m,n > N ,$有$|a_m - a_n| < \varepsilon.$必要性证明：
$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N^{+}}$，当$m, n > N$时，有
$| a_m - a | < \frac{\varepsilon} {2}, | a_n - a | < \frac{\varepsilon} {2}$
$\therefore | a_n - a_m | \leqslant | a_n - a | + | a_m - a | < \varepsilon$
这就证明了$\{ a_n \}$是一个 Cauchy 列。

充分性证明：
① 构造非空有界数集 $\mathbf{S}$ ，因为欲证明数列 $\{ x_n \}$ 收敛，故数集 $\mathbf{S}$ 必须含有数列 $\{ x_n \}$ 中的无限多个数
为此，令 $\mathbf{S} = \{ x | ( - \infty,~x ) \cap \{ x_n \}$ 是空集或有限点集 $\}$；
②由于满足 Cauchy 收敛准则充分条件的数列是有界的，故知数列 $\{ x_n \}$ 的下界 $a \in \mathbf{S}$ ，上界 $b$ 也是 $\mathbf{S}$ 的上界
$\therefore \mathbf{S}$ 是非空有上界的数集由确界定理数集 $\mathbf{S}$ 有上确界 $\zeta = \sup{ \mathbf{S} }$；
③ 对 $\varepsilon > 0, ( - \infty, \zeta ) \cap \{x_n\}$ 是无限点集，否则，就与 $\zeta = \sup \mathbf{S}$ 矛盾
因 $( - \infty,~\zeta - \varepsilon ) \cap \{ x_n \}$ 至多含有 $\{ x_n \}$ 的有限多个点，故
$(\zeta - \varepsilon,~\zeta + \varepsilon)$ 含有 $\{ x_n \}$ 的无限多个点
设 $x_{n_k} \in (\zeta - \varepsilon,~\zeta + \varepsilon), k \in \mathbb{N^{+}}$，且 $n_1 < n_2 < \cdots$，取$N_1 = \max{\{N, n_1\}}$，则
当 $n > N_1$ 时，总存在 $n_k > N_1$，使 $x_n - \zeta \geqslant | x_n - x_{n_{k}} | + | x_{n_{k}} - \zeta | < 2 \varepsilon$
因此$\lim _{n \to \infty}x_n = \zeta.$

Dedekind 定理

Dedekind 分割（戴德金分划基本定理）：对于实数域上的任何一个分划 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，总会有一个实数 $\alpha$，使得 $\alpha$ 是下类 $\mathbf{A}$ 的最大数或者上类 $\mathbf {A'}$ 的最小数。这等价于对于实数域上的任何一个分划 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，总会有一个实数 $\alpha$，使得

$$x \leqslant \alpha \leqslant y, ~ \forall x \in \mathbf{A}, y \in \mathbf{A'}.$$

证明　设$\mathbf {A} | \mathbf {A'}$为 $\R$ 的一个分划，则 $\mathbf {A'}$ 中每一个数都是 $\mathbf{A}$ 的上界，从而，集合 $\mathbf{A}$ 有上确界．不妨设$\alpha = \sup{\mathbf{A}}$，又由于 $\mathbf{A} \cup \mathbf{A'} = \mathbb{R}$，则 $\alpha$ 属于 $\mathbf{A}$ 或者属于 $\mathbf {A'}$。
若 $\alpha \in \mathbf{A}$，则对任意 $x \in \mathbf {A}$，$x \leqslant \alpha$。故 $\alpha$ 为 $\mathbf{A}$ 的最大元，且 $\mathbf {A'}$ 没有最小元。
若 $\alpha \in \mathbf{A'}$，则由上确界定义， $\alpha$ 为 $\mathbf{A}$ 的最小上界，而 $\mathbf {A'}$ 的任意元均为 $\mathbf{A}$ 的上界，从而 $\alpha$ 为 $\mathbf {A'}$ 的最小元，且 $\mathbf{A}$ 没有最大元．故定理成立．

区间套定理

证 设 $\{ [a_n,~b_n] \}_{n=1}^{\infty}$ 是一个闭区间套，即满足：
$1)~\forall n, [a_{n+1},~b_{n+1}] \subset [a_n,~b_n];$
$2)~\lim_{n \to \infty} ( b_n - a_n ) = 0$
我们证明，存在唯一的实数 $\xi$，使得 $\xi \in [a_n,~b_n], n \in \mathbb{N^{+}}$
存在性：令 $\mathbf{S} = \{ a_n \}$，显然， $\mathbf{S}$ 非空且有上界（任一 $b_n$ 都是其上界）。
据确界定理，$\mathbf{S}$ 有上确界，设 $\sup{S} = \xi$。
现在，我们证明 $\xi$ 属于每个闭区间 $[a_n,~b_n], n \in \mathbb{N^{+}}$
显然，$a_n \leqslant \xi, n \in \mathbb{N^{+}}$
所以，我们只需证明对一切自然数 $n$，都有 $\xi \leqslant b_n.$
事实上，因为 $\forall n \in \mathbb{N^{+}}, b_n$ 都是 $\mathbf{S}$ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 $\xi \leqslant b_n$
故我们证明了存在一实数 $\xi$ ，使得 $\xi \in [a_n,~b_n], n \in \mathbb{N^{+}}$
唯一性: 假设还有另外一点 ${\xi}' \in [a_n,~b_n]$，则
$| \xi - {\xi}' | \leqslant | a_n -b_n | \to 0 ( n \to \infty )$. 即 $\xi = {\xi}'$，唯一性得证。

Bolzano-Weierstrass 定理

证 设 $\mathbf{S}$ 是直线上的有界无限点集，则由确界定理有 $\eta = \sup{ \mathbf{S} }, \xi = \inf { \mathbf{S} }$。
若 $\eta, \xi$ 中有一点不是 $\mathbf{S}$ 的孤立点，则显然就是 $\mathbf{S}$ 的一个聚点。
否则，令 $\mathbf{E} := \{ x \in \mathbb{R} | \mathbf{S}$ 中仅有有限个数小于$x \}$。
显然 $\mathbf{E}$ 非空且有上界。令${\eta}' = \sup{ \mathbf{E} }$，则由 $\mathbf{E}$ 的构造方法可知，
$\forall \varepsilon>0$, 必有${\eta}' + \varepsilon \notin \mathbf{E}$，即 $\mathbf{S}$ 中有无限个数小于 ${\eta}' + \varepsilon$大于${\eta}'$。
所以 $({\eta}' - \varepsilon , ~{\eta}' + \varepsilon )$ 中含有 $\mathbf{S}$ 的无限个数，故 ${\eta}'$ 是 $\mathbf{S}$ 的聚点。

Heine-Borel 定理

即闭区间 $[ a_n,~b_n ]$ 的任一开覆盖 $\mathbf{H}$ 都有有限的子覆盖。

证 ①令 $\mathbf{S} = \{ x |a < x \leqslant b,~[a,~x]$ 能被 $\mathbf{H}$ 中有限个开区间覆盖$\}$
②显然 $\mathbf{S}$ 有上界，$\because \mathbf{H}$ 覆盖闭区间$[a,~b], \therefore \exists (\alpha,~\beta), a \in (\alpha,~\beta)$
取$x \in (\alpha,~\beta)$，则 $[a,~x]$ 能被 $\mathbf{H}$ 中有限个开区间覆盖，从而，$x \in \mathbf{S}$，故 $\mathbf{S}$ 非空；
③由确界定理存在$\zeta = \sup{ \mathbf{S} }$；
④现证$\zeta=b$
用反证法，若 $\zeta \ne b$，则$a < \zeta < b$
由 $\mathbf{H}$ 覆盖闭区间$[a,~b]$，一定$\exists (\alpha_1,~\beta_1) \in \mathbf{H}, \zeta \in (\alpha_1,~\beta_1)$
取$x_1, x_2$, 使 $\alpha_1 < x_1 < \zeta < x_2 < \beta_1$，且 $x_1 \in \mathbf{S}$
则 $[a,~x_1]$ 能被 $\mathbf{H}$ 中有限个开区间覆盖，把 $(\alpha_1,~\beta_1)$ 加进去，就推得$x_2 \in \mathbf{S}$
这与 $\zeta = \sup{ \mathbf{S} }$ 矛盾，故 $\zeta=b$，即定理结论成立。

界点定理

界点定理：若数集$\mathbf{E}$非空，且$\mathbf{E} \ne \mathbb{R}$，则$\mathbf{E}$必有界点。

以下的证明由确界定理给出。

$\because \mathbf{E} \ne \varnothing, \exists a \in \mathbf{E}$，又$\mathbf{E} \ne \mathbb{R}$，
$\therefore \exists b \notin \mathbf{E}$，显然$a \ne b$，不妨设$a < b$，
令数集$\mathbf{A}$为所有满足下列条件的集合：

1. $x \in \mathbf{E}$；
2. $x \geqslant a$；
3. $[a, x] \subset \mathbf{E}$。

则$a \in \mathbf{A}$，且$\forall x\in \mathbf {A} ,x<b$，
$\therefore \mathbf{A}$是非空有上界的集合，且$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{E}$，
根据确界定理可知，$\mathbf{A}$有上确界，设$\sup{\mathbf{A}} = \alpha$，可以证明$\alpha$是$\mathbf{E}$的界点。
事实上，$\forall \varepsilon>0$，由上确界的定义，$\exists x_0 \in \mathbf{A}, s.t. \alpha - \varepsilon < x_0 < \alpha$，
即$\alpha$的任一个邻域$U(\alpha, \varepsilon)$都包含有$\mathbf{A}$的点。
另一方面，我们断言存在$y\notin \mathbf {E} ,s.t.\alpha <y<\alpha +\varepsilon$，否则$U(\alpha ,\varepsilon )\subset \mathbf {E}$，这就和$\alpha =\sup \mathbf {A}$矛盾。
故$U(\alpha, \varepsilon)$也存在不是$\mathbf{E}$的点，
$\therefore \alpha$是$\mathbf{E}$的界点。
同理可证$a > b$时集合$\mathbf{E}$存在界点。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.